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Wenn ich z. B. die Stetigkeit für eine Funktion prüfe, die bei 0 nicht definiert ist und links und rechts komme ich auf den Wert 30, wenn ich alle Folgen für 0 betrachte. Dann ist die Funktion stetigfortsetzbar, da alle Folgen gegen 30 gehen.

Wenn ich nun jedoch eine Fallunterscheidungsfunktion habe, z. B. <0 und >=0.

Wenn ich nun die Stetigkeit bei 0 prüfe und linksseitig komme ich auf den Wert 398 und rechtsseitig auf 294, dann bin ich ja nicht stetig auf 0. Bin ich aber stetigfortsetzbar?

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Du kannst sowieso nicht steiig sein, nur Funktionen können das ;-)
Achte in Deinen Überlegungen auf korrekte Ausdruckweise, sonst verschwimmen die Begriffe und damit das Verständnis. Also nicht "alle Folgen für 0", sondern es geht um Grenzwerte von f(x) für x gegen irgendwas.
Wenn links- und rechtseitiger Grenzwert einer Funktion nicht in x0 übereinstimmen, dann kann die Funktion dort nicht stetig fortsetzbar sein.
Vorschlag: Arbeite erstmal die Thematik für Dich durch. Dann kläre gerne mit uns, was noch offen ist.
Jede auftretende Überlegung direkt hier als neue Frage zu stellen scheint mir nicht sinnvoll.
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