Du kannst sowieso nicht steiig sein, nur Funktionen können das ;-)
Achte in Deinen Überlegungen auf korrekte Ausdruckweise, sonst verschwimmen die Begriffe und damit das Verständnis. Also nicht "alle Folgen für 0", sondern es geht um Grenzwerte von f(x) für x gegen irgendwas.
Wenn links- und rechtseitiger Grenzwert einer Funktion nicht in x0 übereinstimmen, dann kann die Funktion dort nicht stetig fortsetzbar sein.
Vorschlag: Arbeite erstmal die Thematik für Dich durch. Dann kläre gerne mit uns, was noch offen ist.
Jede auftretende Überlegung direkt hier als neue Frage zu stellen scheint mir nicht sinnvoll.