Ja das mit der Reihenfolge ist wirklich nicht leicht. Wie gesagt mit die beste Merkregel ist das du keine Integrationskonstante durch die Grenzen einführst, über die du bereits integriert hast. 

Ansonsten stelle dir vor wie das Gebilde gebastelt wird. Dafür überlegst du hier was wovon abhängt. Wir drehen uns einmal im Kreis. Dabei variiert je nach Winkel der Radius. Also steht der Radius in Abhängigkeit des Winkels und wir integrieren zuerst über den Radius. 

Die Grenzen des Radius stehen oben auch wenn es dieses mal kompliziert aussieht. Du erhälst das Integral

\( \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{4(\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi))}} r \ dr d\varphi \)

Achja und der Radius ist definiert für \( r \in \mathbb{R}_{\geq 0} \) du hast also niemals negative Integralgrenzen. 

Grüße Christian

Hallo,

Polarkoordinaten nutzen zur Bestimmung jedes Punktes einen Winkel und einen Radius. 

Es gelten folgende Zusammenhänge:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2 } \)

Der Winkel ist in jedem Quadranten unterschiedlich definiert. Das kannst du dir am besten einmal auf Wikipedia angucken.

Nun müssen natürlich auch die Differentiale transformieren. Dafür tauschen wir die Differentiale aus und multiplizieren das ganze noch mit der Determinanten der Jacobi Matrix. 
In Polarkoordinaten bedeutet das

\( \int \int f(x,y) dxdy = \int \int f(r, \varphi ) r dr d\varphi \)

Hilft dir das schon?

Grüße Christian

Ich mache es dir mal bei deiner ersten Aufgabe vor.

Wir haben das Integral

\( \int_S \ln(1+x^2+y^2) d^2(x,y) \)

Nun transformieren wir in Polarkoordinaten. Wir führen also die Variablen \( (r,\varphi) \) ein und erhalten erstmal

\( \ln(1+x^2+y^2) \to \ln(1+r^2) \)

Ich hatte ja geschrieben, das \( r^2 = x^2 + y^2 \). Die eigentlich Transformation ist aber

\( x= r \cos (\varphi) \\ y = r \sin (\varphi) \)

Du setzt also für alle \( x \) und \( y \) den obigen Zusammenhang ein.

So nun haben wir unsere Funktion transformiert. Als nächstes transformieren wir unser Flächenelement \( dxdy \). 
Dafür brauchen wir wie gesagt die Determinante der Jacobi-Matrix. Die Jacobi Matrix, hängt von der Wahl der Koordinaten ab. In Polarkoordinaten erhalten wir immer 

\( det \ J = r \)

In Kugelkoordinaten wäre das beispielsweise

\( det \ J = r^2 \sin (\Theta) \)

So nun erhalten wir also als Flächenelement

\( dxdy \to r \ drd\varphi \)

Wir erhalten also das Integral

\( \int_S \ln(1 + x^2 + y^2 ) \ dxdy = \int_S \ln(1+r^2) \cdot r \ dr d\varphi \)

Nun müssen wir noch unser \( S \) in Polarkoordinaten darstellen. \( S \) ist der Durchschnitt der Einheitskreisscheibe (Radius 1) und dem oberen rechten Quadranten (also der erste Quadrant).

Nun müssen wir also den Radius von Null bis Eins laufen lassen. Den Winkel von 0° bis 90° ( \( 0 \) bis \( \frac {\pi} 2 \)). Wir erhalten also das Integral

\( \int_0^{\frac {\pi} 2} \int_0^1 \ln(1+r^2) \cdot r \ dr d\varphi \)

Grüße Christian

Die a) stimmt soweit schon mal. Bei der b) hast du bis dahin auch alles richtig. 

Nun hängen die beiden Koordinaten voneinander ab. Der Winkel geht auf jeden Fall von \( 0 \) bis \( 2\pi \), da wir jeden Quadranten betrachten. Der Radius variiert je nachdem welchen Winkel wir haben, mit der Beziehung

\( r^2 = 4( \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) ) \)

Also geht der Radius von \( 0 \) bis \( r^2 = 4( \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) ) \) bzw \( r= \sqrt{4( \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) )} \)

Welches Integral musst du somit zuerst bestimmen?

Grüße Christian