Für eine \(2 \times 2\) Matrix \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) gilt immer (wenn sie invertierbar ist) \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).

Wenn du auch die Inversen von größeren Matrizen berechnen musst, dann schau dir dazu mal den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Das Prinzip ist wie folgt: Wir schreiben die zu invertierende \(n \times n\) Matrix \(A\) und die Einheitsmatrix \(E\) nebeneinander in eine \(n \times 2n\) Matrix \((A \vert E)\).

Für die obige \(2 \times 2\) Matrix wäre die Matrix also \( \begin{pmatrix} a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

Nun formen wir diese Matrix durch Zeilenumformungen so um, dass links die Einheitsmatrix steht, also dass die Matrix die Form \((E \vert B)\) annimmt.

Für die obige \(2 \times 2\) Matrix ergäbe sich beispielsweise \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & td & -tb \\ 0 & 1 & -tc & ta \end{pmatrix} \), wobei ich der Übersichtlichkeit halber die Abkürzung \(t = \frac{1}{ad-bc}\) verwendet habe. Für die Matrix \(B\) ergäbe sich in diesem Fall also \(B = \begin{pmatrix} td & -tb \\ -tc & ta \end{pmatrix}\).

Und diese Matrix \(B\), die bei dem Algorithmus am Ende herauskommt, ist stets die gesuchte Inverse zu \(A\).