(Twitter)
Ich zittiere hier von aleph1.info:
"Ist f (x) < f (x′) für x, x′ ∈ I, so ist x < x′, da f monoton steigt. Aber es gilt x = f −1(f (x)) und x′ = f −1(f (x′)). Also ist f −1 streng monoton steigend.
Sei q = f (p) ∈ Q beliebig. Wir zeigen, dass f −1 : Q → ℝ ε-δ-stetig in q ist. Sei hierzu ε > 0. Wir suchen ein δ > 0 mit
∀y ∈ Q (|y − q| < δ → |f −1(y) − p| < ε).
1. Fall: p ist kein Randpunkt des Intervalls I
Durch etwaige Verkleinerung von ε können wir annehmen, dass [ p − ε, p + ε ] ⊆ I. Sei nun δ > 0 so klein, dass
] q − δ, q + δ [ ⊆ ] f (p − ε), f (p + ε) [.
Dann ist δ wie gewünscht. Denn sei y ∈ Q mit |y − q| < δ. Dann gilt
f(p − ε) < y < f(p + ε).
Da f −1 streng monoton ist, gilt also p − ε < f −1(y) < p + ε.
2. Fall: p ist der linke Randpunkt des Intervalls I, d. h., q = min(Q)
Wir können I ≠ { p } und [ p, p + ε ] ⊆ I annehmen. Sei δ > 0 so klein, dass
[ q, q + δ [ ⊆ [ q, f (p + ε) [.
Ist nun y ∈ Q mit |y − q| < δ, so ist y ≥ q und f (p) ≤ y < f(p + ε).
Da f −1 streng monoton ist, gilt also p ≤ f −1(y) < p + ε.
3. Fall: p ist der rechte Randpunkt des Intervalls I, d. h., q = max(Q)
Analog zum zweiten Fall."
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