Komplizierte Ableitung

Erste Frage Aufrufe: 276     Aktiv: 10.04.2023 um 19:51

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Hallo ich verstehe leider das Vorgehen bei der folgenden ableitung nicht und benötige eine erklärung. Link:  https://www.ableitungsrechner.net/#expr=arctan%28%28x%5E2-1%29%20%2F%20%282%2Ax%29%29&simplify=1&showsteps=1  
Mir fehlt hier das Wissen zu den Rechenregeln die hier verwendet wurden. Den Anfang mit Kettenregel versteh ich aber Ich frage mich besonders wie die Brüche hier zusammengefasst werden konnten und wie der doppelbruch so vereinfacht werden konnte. Falls es welche gibt freue ich mich pber infos zueinfacheren Methoden.
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Hallo und herzlich willkommen auf mathefragen.de!

Welche Ableitungsregeln kennst du denn bereits schon? Denn wenn du dich an eine so "schwierige" Ableitung wagst nehme ich an, dass du schon einige Ableitungsregeln kennst. Denn eigentlich ist dieser Rechenweg ziemlich einfach, man verwendet nur die Kettenregel, Quotientenregel, Ableitung einer Summe und dann verwendet man ganz viele Termumformungen, die du aber aus Termvereinfachungen kennen solltest. 

Könntest du bitte genau angeben wo du nicht siehst wie die Brüche vereinfacht werden? Denn dann müssen wir dir nicht den kompletten Rechenweg erklären. Das wäre ziemlich mühsam.

Falls du eine Übersicht zu den Ableitungsregeln haben möchtest schaue doch kurz hier vorbei oder google einfach einmal, da findest du viele Infos.

Liebe Grüsse
Karate
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Student, Punkte: 1.95K

 

ich erkenne nicht warum die 1 im zähler des ersten bruchs während dem ableiten von dem programm einfach durch den anderen bruch der eigentlich multipliziert wird ersetzt werden kann im 2. rechenschritt   ─   userb07adf 10.04.2023 um 17:32

eventuell rechnet das programm sehr umständlich deswegen war ich nicht sehr spezifisch weil ich nicht weiter weis als der erste schritt. Wenn du übungen hast zu solchen umformungen hast mit brüchen wäre ich sehr dankbar! Die regeln aus dem video sind sehr allgemein und hat nicht viel mit den normalen umformungen zu tun die ich schiwerig finde.   ─   userb07adf 10.04.2023 um 17:36

Wäre toll wenn du die schritte auf LaTeX schreiben könntest, dann ist es für mich einfacher. Also meinst du wieso diese Gleichung $$\frac{1}{\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2+1}\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-1}{2x}\right]=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-1}{x}\right]}{\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2+1}$$ hier stimmt?   ─   karate 10.04.2023 um 17:38

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Was für Umformungen findest du denn schwierig? Also normale Termumformungen?   ─   karate 10.04.2023 um 17:39

Ja richtig diesen schritt meine ich.   ─   userb07adf 10.04.2023 um 17:40

Der Rechner nimmt an das du die Ableitung des $\arctan$ kennst. Es ist dir vielleicht bekannt, dass $\big{(}\arctan(x)\big{)}'=\dfrac{1}{x^2+1}$ ist?! Das ist tatsächlich ziemlich elementar und wird auch häufig beim Bilden einiger Stammfunktionen benutzt. Der Rest ist Kettenregel.   ─   maqu 10.04.2023 um 17:41

Also die einfachen sachen kann ich wie + - usw aber bei brüchen die multipliziert werden und doppelbrüchen speziell zusammenfassen davon kenne ich mich nicht aus   ─   userb07adf 10.04.2023 um 17:41

@maqu diese eine regel kenne ich schon, es sind die nachfolgenden schritte die ich noch nicht nachvollziehe   ─   userb07adf 10.04.2023 um 17:46

Okei also ich schreibe dir hier die Zwischenschritte auf:

$$\begin{align}\frac{1}{\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2+1}\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-1}{2x}\right]&=\frac{\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-1}{2x}\right]}{\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2+1}\\&=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-1}{x}\right]}{\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2+1}\\&=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-1}{x}\right]}{\frac{(x^2-1)^2}{4x^2}+1}\end{align}$$

Hier sind wirklich nur einfache Termumformungen verwendet worden und die Ableitungsregel $(a\cdot u(x))'=a\cdot u'(x)$.

Hilft das weiter?
  ─   karate 10.04.2023 um 17:47

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Zu den Rechenregeln zu Brüchen hilft es wenn du googelst, da findest du alle Regeln. Aber ich schreib sie dir ausnahmsweise nochmals auf $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$ und $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}$$ Aber wenn du bei Termumformungen Probleme hast, dann empfehle ich dir wirklich mal Aufgaben im Internet zu suchen deine Alten Unterrichtsmaterialen zu repetieren oder den Lehrer/in nach neuem Material zu fragen damit du üben kannst.   ─   karate 10.04.2023 um 17:49

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In Bezug auf deinen letzten Kommentar, solltest du vielleicht mit Grundlagen zur Bruchrechnung üben bevor du mit solchen Ableitungen weitermachst. Generell gilt $\dfrac{a}{b}\cdot c=\dfrac{a\cdot c}{b}$ was hier benutzt wurde. Außerdem wurde der Faktor $\frac{1}{2}$ aus der eckigen Klammer herausgezogen, da dieser aufgrund der Faktorregel keinen Einfluss auf die Ableitung nimmt. Wegen der Probleme mit Doppelbrüchen, was erhält man denn bei Termen der Form $\dfrac{\,\frac{a}{b}\,}{\frac{c}{d}}$?   ─   maqu 10.04.2023 um 17:50

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@maqu , @karate ah danke euche diese rregel kannte ich noch nicht (habe es jetzt gesehen)   ─   userb07adf 10.04.2023 um 17:54

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Ja genau das ist die Regel die @maqu aufgeschrieben hat. Es gilt nämlich $$\frac{a}{b}\cdot c=\frac{ac}{b}$$ du kannst diese Regel auch aus meiner herleiten die ich dir oben geschrieben habe. Denn ich habe ja geschrieben dass $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$ wenn du nun aber $d=1$ wählst so erhälst du die Regel von @maqu.   ─   karate 10.04.2023 um 17:56

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Sehr gerne. Dann sollte die Vereinfachung am Ende die der Rechner in einem Schritt macht eine gute Übung sein!👍   ─   maqu 10.04.2023 um 17:57

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@maqu freut mich dass du noch hier bist nach einer so langen Zeit wo ich nicht mehr online war!   ─   karate 10.04.2023 um 17:59

@karate ja war auch ein paar Monate inaktiv und bin jetzt wieder öfter hier … nur meistens sind die wenigen Frsgen die aufkommen bereits beantwortet … da deine aber noch im laufenden Dialog war, war ich mal so frei mich mit einzuklinken 😜👍   ─   maqu 10.04.2023 um 18:07

Natürlich ich finde es immer toll wenn andere mithelfen.
Ja ich versuche auch wieder öfters hier zu sein, jedoch gibt es nicht sehr viele Fragen.
Studierst du denn eigentlich auch noch oder hast du Mathematik studiert?
  ─   karate 10.04.2023 um 18:09

Habe es studiert ja, ist aber etwas her und bin jetzt als Lehrer tätig🤪 also wenn die Fragen zu tief in die Materie gehen helfen sicher cauchy, mikn oder Leute wie du die aktuell im höheren Semester studieren besser aus … aber ab und zu reich mein Halbwissen doch noch aus un helfen zu können😅   ─   maqu 10.04.2023 um 18:14

Ah wow nicht schlecht! Also ist cauchy auch an der Universität tätig?
  ─   karate 10.04.2023 um 18:18

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@karate kann ich nicht sagen … aber studiert hat er bestimmt! Sollten da jetzt aber keinen Meta-Talk vom Zaun brechen 😜   ─   maqu 10.04.2023 um 18:22

Ich habe studiert. Arbeite aber nicht mehr an der Uni. :)   ─   cauchy 10.04.2023 um 19:50

hahha nice gut zu wissen!
  ─   karate 10.04.2023 um 19:51

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