Sei \(\mathfrak B=(v_1,\ldots,v_n)\) eine Basis, bzgl. der \(M(T,\mathfrak B)\) eine obere Dreiecksmatrix ist. Betrachte nun die Basis \(\mathfrak B'=(v_n,v_{n-1},\ldots,v_1)\), also die gleiche Basis, aber in umgedrehter Reihenfolge. Zeige, dass die Matrix bzgl. dieser Basis eine untere Dreiecksmatrix ist. Betrachte dazu einfach jede Spalte einzeln. Zum Beispiel gilt ja \(T(v_1)=\alpha_{11}v_1\), da \(M(T,\mathfrak B)\) eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist die letzte Spalte von \(M(T,\mathfrak B')\) aber \((0,\ldots,0,\alpha_{11})^t\), was zu einer unteren Dreiecksmatrix passt. Überprüfe so alle Spalten.
Die umgekehrte Richtung geht ganz genauso.