Integral über Normalbereich x und y

Erste Frage Aufrufe: 150     Aktiv: 26.10.2023 um 19:36

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Gegeben ist D = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ⩽ x ⩽ 2,   y ⩽ x , x^2 ⩽ 4y}. 

Für den Normalbereich bzgl. der x-Achse habe ich die Darstellung D = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ⩽ x ⩽ 2,   x^2 ⩽ y ⩽ x  }. Die Lösung des Doppelntegrals mit der Funktion xy beträgt 5/3. 

Für den Normalbereich bzgl. der y-Achse habe ich die Darstellung D = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ⩽ y ⩽ 2,   y ⩽ x ⩽ 2 √y  }. Die Lösung des Doppelntegrals mit der Funktion beträgt 10/3. 

Die zwei Lösungen stimmen nicht überein, welches mit Blick auf ähnliche Aufgaben nicht sein kann. Ich vermute, dass für die Darstellung bzgl. der y-Achse die Grenzen für das x fehlerhaft sind, doch weiß nicht genau weiter.
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Stets(!) eine Skizze machen und sich die beiden Integrationsmethoden klar machen: Bei $\int\int...dy\,dx$ wird der Bereich in senkrechten Streifen durchlaufen, bei $\int\int dx\,dy$ in senkrechten. Es ergibt sich bei beiden Methoden der gleiche Wert.
Deine erste Methode ist fast richtig, es muss aber $\frac{x^2}4\le y\le x$ gelten. Damit kommt man auf $\int\int xy\, dy\,dx = \frac53$.
Die zweite Methode ist aufwendiger, man muss das Integral aufteilen (Skizze!).
$\int\limits_0^1\int\limits_y^{\sqrt{4y}}xy\,dy\,dx + \int\limits_1^2\int\limits_y^2xy\,dy\,dx = \frac{13}{24}+\frac98 = \frac53$.
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