Wann wird Z/pZ zum Körper?

Aufrufe: 759     Aktiv: 22.12.2020 um 20:12

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Hallo!

Ich weiß grundsätzlich, wie ich zeigen kann, wann ein kommutativer Ring mit Eins zum Körper wird (dass das der Fall für Z/nZ ist wird in besagtem Beispiel 5.33 gezeigt), also muss ich nur noch ein multplikativ inverses Element nachweisen, aber ich kann mir nicht richtig vorstellen, wie Elemente aus Z/pZ aussehen und in meinem Skript verstehe ich die Erläuterung dazu leider nicht.

Kann mir jemand helfen?

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Du kannst Dir die Elemente von \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) als die Zahlen \(0,1,\dots,p-1\) vostellen. In Wirklichkeit sind dies Repräsentanten der Restklassen, aber es ist ja egal, welche man auswählt. Beim Rechnen kannst Du immer \(\mathrm{mod}\ p\) rechnen, um wieder auf diese Repräsentanten zu kommen. Sei \(q\in\{1,2,\dots,p-1\}\). Das Lemma von Bézout gibt Dir jetzt direkt ein Inverses von \(q\).

Hilft das?

Vergiss nicht, dass auch die umgekehrte Implikation gezeigt werden soll von "genau dann, wenn".

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 

Vielen Dank schonmal. Irgendwie bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich dann auf das multiplikative Inverse komme... Irgendwie kann ich mir nicht richtig vorstellen, warum p überhaupt eine Primzahl sein muss und weshalb es nicht mit jeder ganzen Zahl funktionieren würde...   ─   thxforallthefish 22.12.2020 um 18:09

Ah, ich glaube ich habe es verstanden, dankeschön!   ─   thxforallthefish 22.12.2020 um 18:58

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Ist denn jetzt klar, wie Du mit dem Lemma von Bézout eine Inverse von \(q\) findest? Kleiner Tipp: es steht schon da, sobald Du die Voraussetzungen für die Anwendung des Lemmas geprüft hast.   ─   slanack 22.12.2020 um 19:32

@slanack Ich hoffe, ich habe es jetzt richtig verstanden, aber [qm]=[1] oder? Und dann wäre das Inverse zu [q] [m].   ─   thxforallthefish 22.12.2020 um 20:11

Bravo!   ─   slanack 22.12.2020 um 20:12

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