Das hängt von f ab. Wenn f auf ganz R betrachtet wird, darf man gar nicht verschieben. Üblich ist aber, dass f nur auf einem Intervall gegeben ist und auf dem Rest (also R ohne Intervall) periodisch fortgesetzt wird. Dann hängt es vom Intervall ab  Wenn f(x)=x auf [0,2pi) vorgegeben ist und auf ganz R 2pi-periodisch fortgesetzt werden soll (damit man einen Fourierreihendarstellung bekommt) muss man das Integral von 0 bis 2pi nehmen - und kein anderes.

Wenn wir f_p das 2pi-periodisch fortgesetzte f nennen, dann ist das Integral über f_p zu nehmen. Und beim Integral über f_p darf man beliebig verschieben (Länge bleibt natürlich 2pi). Aber f_p ist eben nicht f außerhalb von [0,2pi). Am besten skizziert man sich f und f_p, dann sieht man das sofort..

Die Fourierintegrale laufen immer über das Periodizitätsintervall. Also im Falle von 2 pi gilt:

\( \int_0^{2 \pi} ... = \int_c^{2 \pi +c} ... mit c=const.