Ein Orthogonalsystem ist eben etwas anderes, als ein Orthonormalsystem. Oder besser gesagt, ein Orthonormalsystem ist ein Spezialfall eines Orthogonalsystems. Deshalb frage ich. \( QQ^T = \textbf{1}_n \) ist die Definition einer orthogonalen Matrix. Das impliziert aber, dass die Spaltenvektoren orthonormal sind. Sind diese nur orthogonal, erhalten wir nicht die Einheitsmatrix. Mach dir das folgendermaßen klar. Nennen wir \( q_i \) den \(i\)-ten Spaltenvektor von \( Q \). Dann ist \(q_i \) aber auch der \(i\)-te Zeilenvektor von \( Q^T \). Somit kann man sich überlegen, dass der Eintrag von \( QQ^T \) an der \( (k,l)\)-ten Stelle genau das Standardskalarprodukt \( \left< q_k,q_l \right> \) ist. Für alle Eintrage außerhalb der Hauptdiagonalen gilt \( k\neq l \). Und somit ergibt das Standardskalarprodukt was? für die Einträge auf der Hauptdiagonalen gilt \( k=l \). Also haben wir dort das Skalarprodukt \( \left< q_i,q_i \right> \). Was ergibt das für ein Orhtogonalsystem und was ergibt das für ein Orthonormalsystem?