Ja, das ist alles so richtig, auch von der Schreibweise her. Außer ganz oben, zwei Zeile, sollte bei Bild(T) natürlich exakt das gleiche stehen wie bei kern(T).

Wenn Du auf demselben Weg weitermachst bez. Bild, kommst Du genauso schnell drauf, dass a=0 gelten muss. Es ist ja auch nicht wirklich ein LGS, weil die Lösung gja leich da steht.

Hallo :)

So wie ich das verstehe, sind alle linearen Abbildungen \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) zu bestimmen, mit \( Kern(T) = Bild(T) = \{ \alpha \cdot \vec {e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} \).

Du kannst natürlich mit Matrizen rumrechnen, aber das wird dann vermutlich etwas komplizierter als nötig. Beachte, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt ist. Es genügt also, die Bilder der Basisvektoren \( \vec{e_1} \) und \( \vec{e_2} \) zu betrachten. Das erspart Rechenarbeit.

Bevor du weiterliest, kannst du dir ja mal selbst überlegen: Wie müssen die Bilder der Basisvektoren aussehen, damit die obigen Bedingungen an Kern und Bild erfüllt sind?

Wegen \( \vec{e_2} \in \{ \alpha \cdot \vec{e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} = Kern(T) \), muss \( T( \vec{e_2} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) sein.

Außerdem muss wegen \( T(\vec{e_1}) \in Bild(T) = \{ \alpha \cdot \vec{e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} \) gelten: \( T( \vec{e_1} ) = r \cdot \vec{e_2} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \).

Da \( \vec{e_1} \notin \{ \alpha \cdot \vec{e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} = Kern(T) \) ist, kann \( T(\vec{e_1}) \) nicht der Nullvektor sein. Wir können also die obige Form einschränken zu: \( T( \vec{e_1} ) = r \cdot \vec{e_2} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Aus den Bildern der Basisvektoren erhalten wir nun die Abbildungsmatrix (bezüglich der Standardbasis): \( M(T) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ r & 0 \end{pmatrix} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Wir haben also nun gezeigt: Wenn eine lineare Abbildung \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) die Gleichheit \( Kern(T) = Bild(T) = \{ \alpha \cdot \vec {e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} \) erfüllt, dann ist sie gegeben durch die Abbildungsmatrix \( M(T) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ r & 0 \end{pmatrix} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Du kannst dir mal selbst überlegen, dass auch andersherum gilt: Wenn eine lineare Abbildung \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) durch die Abbildungsmatrix \( M(T) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ r & 0 \end{pmatrix} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) gegeben ist, dann gilt die Gleichheit \( Kern(T) = Bild(T) = \{ \alpha \cdot \vec {e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} \).

Und damit ist die Aufgabe gelöst. Die linearen Abbildungen \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), die die Gleichheit \( Kern(T) = Bild(T) = \{ \alpha \cdot \vec {e_2} \ \vert \ \alpha \in \mathbb{R} \} \) erfüllen, sind genau die Abbildungen, die durch die Abbildungsmatrix \( M(T) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ r & 0 \end{pmatrix} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) gegeben sind.

Ich hoffe, das hat dir geholfen. Bei Rückfragen, kannst du dich gerne noch mal melden :)