Das machst du am besten mit dem Prinzip der vollständigen Induktion:

Du willst bsp. \(\sum_{k=1}^{n}(3k-2)=\frac{n*(3n-1)}{2}\) beweisen, dann gehst du wie folgt vor:

IA Induktionsanfang: Setzt für n einen möglichst kleinen Wert ein und schau ob die Gleichung gilt (wähle n=1, dass darfst du, da deine Summe bei k=1 beginnt)

IV Induktionsvoraussetzung: Du setzt voraus, dass die Gleichung \(\sum_{k=1}^{n}(3k-2)=\frac{n*(3n-1)}{2}\) gilt.

IS Induktionsschritt: Du prüfst deine Gleichung für n+1, also n -> n+1. Dh. du setzt überall wo ein n steht, ein (n+1) (mit Klammer) ein, dann hast du:

\(\sum_{k=1}^{n+1}(3k-2)=\frac{(n+1)*(3(n+1)-1)}{2}\) (die rechte Seite ist dein Ziel, das was du zeigen möchtest) und dann fängst du an:

\(\sum_{k=1}^{n+1}(3k-2)\) = \(\sum_{k=1}^{n}(3k-2)\)+... = und dann nutzt du die IV um deine Gleichung für n+1 zu zeigen. Gelingt dir dies, so ist die Induktion erfüllt und die Gleichung gilt für alle n aus IN! Noch Fragen? :)