Für die Anzahl der günstigen Ereignisse müssen wir die Mächtigkeit folgender Menge bestimmen

\( M = \{ (x_1, \dots, x_k) \in \{1, \dots, 6\}^k \ \vert \ x_1 < \dots < x_k \le 6 \} \)

Zunächst definieren wir für \(r \in \mathbb{N}\) und \(1 \le n \le 6\) die Mengen

\( M_r^n = \{ (x_1, \dots, x_r) \in \{1, \dots, 6\}^r \ \vert \ x_1 < \dots < x_r \le n \} \)

\( N_r^n = \{ (x_1, \dots, x_r) \in \{1, \dots, 6\}^r \ \vert \ x_1 < \dots < x_r = n \} \)

Es gilt

\( \# M_1^n = n \)

und für \( r \ge 2 \)

\( \# M_r^1 = 0 \)

Außerdem gilt für \(r,n \ge 2\) die Gleichheit \( M_r^n = M_r^{n-1} \cup N_r^n \) (disjunkt), also \( \# M_r^n = \# M_r^{n-1} + \# N_r^n \). Da die Abbildung \( N_r^n \to M_{r-1}^{n-1}, (x_1, \dots, x_{r-1}, n) \mapsto (x_1, \dots, x_{r-1}) \) eine Bijektion ist, gilt ferner \( \# N_r^n = \# M_{r-1}^{n-1} \). Und somit erhalten wir

\( \# M_r^n = \# M_r^{n-1} + \# M_{r-1}^{n-1} \)

Hieraus kann man nun induktiv \( \# M_r^n = \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} \) herleiten.

Es folgt \( \# M = \# M_k^6 = \begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix} \) und somit \( p = \frac{1}{6^k} \begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix} \).

[Nachtrag: Ursprünglicher Beitrag wg Fehler in den Teilen für k=3,4,5 von mir entfernt, sorry für etwaige Verwirrung. Im folgenden eine komplett neue, viel einfachere (und hoffentlich richtige) Lösung.]

Für jedes \(k\in\{2,3,4,5,6\}\) gilt:
Jede zulässige Folge von \(k\) Würfen enthält \(k\) versch. Augenzahlen, also \(k\) verschiedene Zahlen aus \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Umgekehrt entspricht jede Auswahl von \(k\) Zahlen aus \(\{1,2,3,4,5,6\}\) einer zulässigen Folge von Würfen (muss halt noch der Größe nach geordnet werden, was aber bei jeder solchen Auswahl geht, da ja die gewählten Zahlen verschieden sind).

Folglich ist die Anzahl der zulässigen Wurffolgen gleich der Anzahl der Möglichkeiten \(k\) Elemente aus 6 auszuwählen,  d.h. die gesuchte Anzahl ist \(\binom{6}{k}\). Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist dann \(p=\frac1{6^k}\binom{6}{k}\).

Das ist auch das Ergebnis, was anonym auch erzielt hatte (nochmals danke für den Hinweis auf den Fehler).