(Twitter)
1
Eigenvektor hat natürlich etwas mit Eigenraum zu tun: Eig(F;λ) = Ker(F − λ · idV), wobei \(\lambda\) die Eigenwerte sind, also die Nullstellen aus dem charakteristischen Polynom.
Einen Eigenvektor erhälst du, wenn du jeweils einen Vektor aus deinem Eigenraum nimmst. Der Nullvektor ist hierbei nicht zulässig.
Hat dein Eigenraum beispielsweise Dimension = 1, dann kannst du auch nur einen einen Eigenvektor wählen.
Für Dimension = 2 wählst du dann eben 2 Vektoren.
Ich hoffe es klärt die Frage, wenn nicht, dann schreibe mal deine Matrix und wir rechnen das zusammen durch und dann wird das aufjedenfall klarer! :)
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
kallemann
Student B.A, Punkte: 1.47K
Student B.A, Punkte: 1.47K
Ob deine Matrix einen oder zwei Eigenvektoren hat, hängt natürlich von der Matrix ab. Das kann man so nicht pauschalisieren.
Die Anzahl an Eigenvektoren hängt wie gesagt von der Dimension des Eigenraums zum Eigenwert ab.
Ich gebe mal die Eigenräume von der Matrix aus dem Video an:
Hast du bsp den Eigenraum \(Eig\left ( F; 5 \right ) = \left \{ x_1\cdot \begin{pmatrix}
1 \\
0\\ 0
\end{pmatrix}+x_2\cdot \begin{pmatrix}
0\\
1\\0
\end{pmatrix}\right |x_1,x_2 \in \mathbb{R}\}\), \(Eig\left ( F; 2 \right ) = \left \{ x_3\cdot \begin{pmatrix}
\frac{-1}{3} \\
-1\\ 1\end{pmatrix}\right |x_3 \in \mathbb{R}\}\)
Du siehst, dass der Eig(F;5) die Dimension 2 hat, also kannst du zwei vom Nullvektor verschiedene Eigenvektoren zum Eigenwert 5 wählen.
Du siehst, dass der Eig(F;2) die Dimension 1 hat, also kannst du einen vom Nullvekor verschiedenen Eigenvektor zum Eigenwert 2 wählen.
Das was du mit der algebraischen Vielfachheit erwähnst, lässt sich wie gesagt nicht pauschalisieren! ;) ─ kallemann 07.01.2021 um 10:33
Die Anzahl an Eigenvektoren hängt wie gesagt von der Dimension des Eigenraums zum Eigenwert ab.
Ich gebe mal die Eigenräume von der Matrix aus dem Video an:
Hast du bsp den Eigenraum \(Eig\left ( F; 5 \right ) = \left \{ x_1\cdot \begin{pmatrix}
1 \\
0\\ 0
\end{pmatrix}+x_2\cdot \begin{pmatrix}
0\\
1\\0
\end{pmatrix}\right |x_1,x_2 \in \mathbb{R}\}\), \(Eig\left ( F; 2 \right ) = \left \{ x_3\cdot \begin{pmatrix}
\frac{-1}{3} \\
-1\\ 1\end{pmatrix}\right |x_3 \in \mathbb{R}\}\)
Du siehst, dass der Eig(F;5) die Dimension 2 hat, also kannst du zwei vom Nullvektor verschiedene Eigenvektoren zum Eigenwert 5 wählen.
Du siehst, dass der Eig(F;2) die Dimension 1 hat, also kannst du einen vom Nullvekor verschiedenen Eigenvektor zum Eigenwert 2 wählen.
Das was du mit der algebraischen Vielfachheit erwähnst, lässt sich wie gesagt nicht pauschalisieren! ;) ─ kallemann 07.01.2021 um 10:33
Ich glaube, ich hab's. Es hängt davon ab, wie viele der Variablen frei wählbar sind. Also um bei dem Beispiel zu bleiben. Einzig x3 ist festgelegt mit 0. Wir können x1 und x2 frei wählen, denn dazu gibt uns das LGS keinerlei Bedingungen. Deshalb sind es 2 Eigenvektoren. Kommt das hin oder liege ich falsch?
─
akimboslice
07.01.2021 um 11:31
Ob du nun die freien Variablen ansprichst oder ich die Dimension des Eigenraums, es kommt aufs Gleiche hinaus.
Mit den freien Variablen stellst du ja sozusagen deinen Eigenraum auf. Benutze jedoch für die Zukunft lieber die Definition mit der Dimension des Eigenraums, diese ist gängig und wird von Professoren lieber gesehen, würde ich jetzt mal behaupten! ;) ─ kallemann 07.01.2021 um 11:33
Mit den freien Variablen stellst du ja sozusagen deinen Eigenraum auf. Benutze jedoch für die Zukunft lieber die Definition mit der Dimension des Eigenraums, diese ist gängig und wird von Professoren lieber gesehen, würde ich jetzt mal behaupten! ;) ─ kallemann 07.01.2021 um 11:33
Okay, das merke ich mir. Mir gings nur darum, das zu verstehen. Vielen Dank.
─
akimboslice
07.01.2021 um 12:03
Leider habe ich es zwar verstanden, was du gesagt hast, aber mir ist immer noch nicht klar, wie ich bei gegebenem Eigenvektor rausfinde, ob es einen oder mehrere Eigenvektoren dazu gibt.
Also mal paar konkrete Beispiele:
1 0 hat zB als doppelte Nullstelle lambda1 = lambda2 = 1. Zieht man diese Eigenwerte von der Hauptdiagonalen ab, erhält
0 1 man 0 * x + 0 * y = 0. Also keinerlei Einschränkungen und damit kann ich zwei linear unabh. Eigenvektoren
(1,0) und (0,1) wählen.
Die Matrix
1 1
0 1
hingegen hat zwar auch die gleiche doppelte Nullstelle 1, aber das homogene Gleichungssystem hat eben die Einschränkungen, dass y = 0 sein muss. Daher hab ich nur einen Eigenvektor.
Also nochmal eine Zwischenzusammenfassung: bei der ersten Matrix hatte ich eine doppelte Nullstelle mit 2 Eigenvektoren, weil es keinerlei Einschränkungen gab. Bei der zweiten Matrix hingegen hab ich zwar auch eine doppelte Nullstelle, wegen der Einschränkunge y = 0 aber nur einen Eigenvektor.
Soweit so gut.
Was ist aber mit der Matrix aus dem verlinkten Video?
5 0 1
0 5 3
0 0 2
Ich finde die lambda1 = lambda2 = 5 und lambda3 = 2.
Ich ziehe die 5 von der Hauptdiagonalen ab und erhalte wie eingangs erklärt mit Gauss auf
0 0 1
0 0 3
0 0 0
Hier hat der doppelte Eigenwert also ZWEI Eigenvektoren. Die Matrix
3 -2 -2
1 2 1
1 -3 -2
aber hat den dreifachen Eigenwert 1, aber dieser hat nur einen einzigen Eigenvektor t * (0,1-1) mit t eine beliebige reelle Zahl außer 0.
Ich möchte nochmal ganz klar fragen, ohne theoretisches Hintergrundwissen: wenn ich einen doppelten oder dreifachen Eigenwert gefunden hab und diesen dann von der Hauptdiagonale abziehe und mit Gauss den Rangverlust hinkriege, wie genau zeigt es sich, ob es einen, zwei oder drei Eigenvektoren zu diesem doppelten oder dreifachen Eigenwert gibt? ─ akimboslice 07.01.2021 um 10:19