Zusammenhang von der Determinante und dem ''local degree''

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Hallo zusammen :)

Ich bin gerade an folgender Aufgabe:

Sei $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ eine lineare Abbildung, gegeben durch eine  2x2 Matrix dessen Determinant $\neq 0$. Zeigen Sie, dass der ''local degree'' (Ich weiss leider den korrekten Deutschen Begriff nicht dafür) beim Ursprung +1 ist, wenn der determinant positiv ist, und -1 wenn der Determinant negativ ist.

Was habe ich bisher gemacht :
Sei $M$= besagte Matrix
Wir wissen, wenn $det(M)\neq0$ dann ist M invertierbar und gehört der Gruppe $GL_2(\mathbb{R}) $an, welche 2 zusammenhängende Komponenten besitzt.

Ich weiss aber irgendwie nicht, wie ich von hier aus die Verbindung zum ''local degree'' schaffen kann ? Könnte mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen ?

EDIT vom 25.11.2021 um 10:23:


Das wäre noch das Bild zum ''local degree''

EDIT vom 25.11.2021 um 13:22:


Die andere Definition
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Punkte: 69

 

Wie habt ihr denn local degrees definiert? Hast du ein Bild zur Definition?   ─   zest vor 5 Tagen

Hey Zest, ich habe es als Edit hinzugefügt :), So wie ich es verstehe ist der Degree die Winding number des Graphen und der ''local degree'' die Winding number halt einfach nur an dem einen Ort betrachtet   ─   bünzli vor 5 Tagen

Ist das wirklich die Definition mit der ihr arbeitet? Ich kenne die obige Definition zwar, aber das passt nicht mit der Aufgabe zusammen ... und ich glaube nicht, dass man hier mit lokalen Homologiegruppen und excision Argumenten arbeiten soll. Sicher, dass das eure Definition ist?   ─   zest vor 4 Tagen, 21 Stunden

Ja, also wir haben noch ein zweites Buch, dort wird das auch erwähnt, habe aber noch etwas gefunden, ich werde es auch als Bild noch anfügen

  ─   bünzli vor 4 Tagen, 21 Stunden

Welche Definition habt ihr in der Vorlesung besprochen? Das wäre wichtig, weil die Vorlesung häufig von der Literatur abweicht. Ich vermute ganz stark, dass ihr local degrees irgendwie im Zusammenhang mit dem regular value theorem besprochen habt?

Schau mal hier, ich vermute folgende Definition entspricht eher eurer VL:
https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_of_a_continuous_mapping#Differential_topology
  ─   zest vor 4 Tagen, 21 Stunden

Hmm, nein, in der Vorlesung leider nicht. Aber eine Kollegin hatte etwas ähnliches in der Übungsstunde ( Ich bin bei jemand anderem)meinte Sie gerade . Habe nochmals bei den Unterlagen geschaut und wir haben die erste kurz erwähnt und er hat das Problem vom 2. bewiesen.

Ich werde in demfall noch beim Prof nachfragen, ob er das eventuell noch zeigen könnte.
  ─   bünzli vor 4 Tagen, 21 Stunden

Ok, hattet ihr denn in eurer Vorlesung denn bereits Homology theory, local homology groups und excision? Die Aufgabe passt halt nicht so richtig zu den Definitionen, deswegen wundert es mich etwas. Das musst nicht unbedingt heißen, dass meine Skepsis berechtigt ist, vielleicht liegt das Problem auch bei mir. Aber ich sehe den Zusammenhang noch nicht.

Es überrascht mich auch etwas, dass ihr so eine Aufgabe gestellt bekommt, ohne dass ihr in der Vorlesung die entsprechende Definition oder das Thema besprochen habt.
  ─   zest vor 4 Tagen, 21 Stunden

Hi Bünzli, seid ihr mit der Aufgabe weitergekommen? Meld dich sonst gerne.   ─   zest vor 3 Tagen, 15 Stunden
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