Hallo!
Die Funktion ist ja recht kompliziert, deshalb werden wir die jetzt mal nach und nach aufbröseln :)

\( f(x)=\frac{e^{4x^3+4x^2+2x}}{\sqrt[5]{6x^2+4x^3}}\)

Zuerst hast du hier einen Bruch, für die Ableitung muss also die Quotientenregel angewandt werden.
\( f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)}{{v(x)}^2}\)

Hier ist \( u(x)=e^{4x^3+4x^2+2x} \).
Für \( u'(x) \) müssen wir die Kettenregel anwenden, also innere mal äußere Ableitung. Die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) bleibt beim Ableiten ja unverändert, deshalb ist
\( u'(x)=(12x^2+8x+2)\cdot e^{4x^3+4x^2+2x} \).

Nun zum Nenner: Hier ist \( v(x)=\sqrt[5]{6x^2+4x^3}\), oder anders geschrieben \( (6x^2+4x^3)^\frac{1}{5} \). Wir wenden wieder die Kettenregel an und erhalten
\( v'(x)= (12x+12x^2)\cdot \frac{1}{5}(6x^2+4x^3)^{\frac{1}{5}-1}=(12x+12x^2)\cdot \frac{1}{5}(6x^2+4x^3)^{-\frac{4}{5}}= \frac{5(12x+12x^2)}{(6x^2+4x^3)^{\frac{4}{5}}} \).

Puh, das ist ganz schön unübersichtlich und es würde mich ehrlich gesagt auch nicht wundern, wenn ich mich da jetzt irgendwo vertan habe...
Jedenfalls können wir das jetzt genau so in die Quotientenregel einsetzen und dann hoffen, dass sich möglichst viel wegkürzt und das Ergebnis dann einigermaßen ansehnlich wird.

\(f'(x)=\frac{(12x^2+8x+2)\cdot e^{4x^3+4x^2+2x} \cdot (6x^2+4x^3)^\frac{1}{5} - e^{4x^3+4x^2+2x} \cdot \frac{5(12x+12x^2)}{(6x^2+4x^3)^{\frac{4}{5}}} }{((6x^2+4x^3)^\frac{1}{5})^2} \)

Im Zähler können wir jetzt ausklammern und im Nenner den Exponenten ändern.

\( \Rightarrow f'(x)=\frac{e^{4x^3+4x^2+2x}(12x^2+8x+2)( (6x^2+4x^3)^\frac{1}{5} - \frac{5}{(6x^2+4x^3)^{\frac{4}{5}}} ) }{(6x^2+4x^3)^\frac{2}{5}} \)

Soweit denke ich, dass das Prinzip jetzt klar ist: Aufbröseln und dann stückchenweise ableiten und hoffen, dass was Schönes rauskommt.

LG Lunendlich :)

man könnte es zum Aufschreiben des Terms ja mal mit Klammern versuchen... wer solche Terme bekommt, müsste das doch eigentlich können.
Hellsehen ist anstrengend...

Mit diesen Klammern sähe
( e^(4x^3+4x^2+2x) ) / ((6x^2+4x^3)^(1/5)) + 7x^3
dann so aus:
$$
\frac{e^{4x^3+4x^2+2x} }{(6x^2+4x^3)^{1/5}}+7x^3\text{,  oder mit Wurzel }\frac{e^{4x^3+4x^2+2x} }{\sqrt[5]{6x^2+4x^3}}+7x^3.
$$
Ich gehe davon aus, dass die $7x^3$ hinter den Bruch gehören, weil die in einer neuen Zeile standen.

Um die Fragen zu beantworten:

- welche: Du  brauchst Summenregel, Faktorregel, Potenzregel, Quotientenregel (oder alternativ Produktregel, wenn Du die Potenz der Wurzel im Nenner umschreibst) und natürlich die Ableitung von $e^x$.

- wie: üblicherweise arbeitet man sich von außen nach innen vor. Damit käme die Quotientenregel direkt nach dem $+7x^3$. Dafür brauchst Du die Ableitungen von Zähler und Nenner - hierbei jeweils die Kettenregel ... usw.
(man kann auch von innen nach außen arbeiten, wenn man die Zwischenergebnisse ordentlich aufschreibt und dann später richtig verwendet und dabei den Überblick behält, was noch fehlt und das dann nachholt...)


Für Anfänger ist dieser Funktionsterm aber nicht wirklich geeignet...