Ableitungsregeln ?

Erste Frage Aufrufe: 836     Aktiv: 08.07.2021 um 21:50

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Was für Ableitungsregeln müssen bei folgender Funktion alles beachtet werden und wir komm ich zum Ergebnis ? 
Kann die Formel leider mit meiner Tastatur nicht wiedergeben.
Ich hoffe jemand versteht mich... 

f(x)= (Bruch oben) e hoch 4x hoch 3 +4x hoch 2 + 2x
        (Bruch unten) fünfte Wurzel 6x hoch 2 + 4x hoch 3 
        + 7x hoch 3 

Ich hoffe echt das ich mich irgendwie oredntlich ausdrücken konnte. 

Vielen dank vorab.
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\( f(x) = \frac{e^{4x^3}+4x^{2}+2x}{\sqrt[5]{6x^2+4x^3}} \)
Ist das deine Funktion?
  ─   lunendlich 08.07.2021 um 17:31

fast, auf dem oberen Bruch das (+4hoch2 + 2x) ist auf der gleichen Höhe wie das (4xhoch3)   ─   user9708bf 08.07.2021 um 17:42

Also \( f(x)=\frac{e^{4x^3+4x2+2x}}{\sqrt[5]{6x^2+4x^3}}\).   ─   lunendlich 08.07.2021 um 18:10

ja genau. Weißt du wie ich die erste Ableitung von f(x) bestimme ?
Welche Ableitungsregeln gelten da und wie gehe ich vor ?

Danke
  ─   user9708bf 08.07.2021 um 21:01
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Hallo!
Die Funktion ist ja recht kompliziert, deshalb werden wir die jetzt mal nach und nach aufbröseln :)

\( f(x)=\frac{e^{4x^3+4x^2+2x}}{\sqrt[5]{6x^2+4x^3}}\)

Zuerst hast du hier einen Bruch, für die Ableitung muss also die Quotientenregel angewandt werden.
\( f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)}{{v(x)}^2}\)

Hier ist \( u(x)=e^{4x^3+4x^2+2x} \).
Für \( u'(x) \) müssen wir die Kettenregel anwenden, also innere mal äußere Ableitung. Die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) bleibt beim Ableiten ja unverändert, deshalb ist
\( u'(x)=(12x^2+8x+2)\cdot e^{4x^3+4x^2+2x} \).

Nun zum Nenner: Hier ist \( v(x)=\sqrt[5]{6x^2+4x^3}\), oder anders geschrieben \( (6x^2+4x^3)^\frac{1}{5} \). Wir wenden wieder die Kettenregel an und erhalten
\( v'(x)= (12x+12x^2)\cdot \frac{1}{5}(6x^2+4x^3)^{\frac{1}{5}-1}=(12x+12x^2)\cdot \frac{1}{5}(6x^2+4x^3)^{-\frac{4}{5}}= \frac{5(12x+12x^2)}{(6x^2+4x^3)^{\frac{4}{5}}} \).

Puh, das ist ganz schön unübersichtlich und es würde mich ehrlich gesagt auch nicht wundern, wenn ich mich da jetzt irgendwo vertan habe...
Jedenfalls können wir das jetzt genau so in die Quotientenregel einsetzen und dann hoffen, dass sich möglichst viel wegkürzt und das Ergebnis dann einigermaßen ansehnlich wird.

\(f'(x)=\frac{(12x^2+8x+2)\cdot e^{4x^3+4x^2+2x} \cdot (6x^2+4x^3)^\frac{1}{5} - e^{4x^3+4x^2+2x} \cdot \frac{5(12x+12x^2)}{(6x^2+4x^3)^{\frac{4}{5}}} }{((6x^2+4x^3)^\frac{1}{5})^2} \)

Im Zähler können wir jetzt ausklammern und im Nenner den Exponenten ändern.

\( \Rightarrow f'(x)=\frac{e^{4x^3+4x^2+2x}(12x^2+8x+2)( (6x^2+4x^3)^\frac{1}{5} - \frac{5}{(6x^2+4x^3)^{\frac{4}{5}}} ) }{(6x^2+4x^3)^\frac{2}{5}} \)

Soweit denke ich, dass das Prinzip jetzt klar ist: Aufbröseln und dann stückchenweise ableiten und hoffen, dass was Schönes rauskommt.

LG Lunendlich :)
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Okay, hab gerade gesehen, dass ich das \(7x^3\) übersehen habe, das müsste dann halt noch eingebracht werden...   ─   lunendlich 08.07.2021 um 18:43

ich weiß, warum ich da keine Lust hatte, das vorzurechnen... :-)
(und es war ja auch nicht gefragt...)

Die Rechnung sieht gut aus - aber... :-(
- ich glaube, die 5 gehört in den Nenner
- Am Ende sind die 12x+12x^2 verschwunden und die 2x auch....

...und ich glaube, man könnte im Zähler nach dem Minus mit (6x^2+4x^3)^{1/5} erweitern, das dann noch kürzen.... sowie x^2 kürzen... vorne ausmultiplizieren und verrechnen...


Also: schön ist das nicht. Ich hoffe, es gibt wenigstens einen praktischen Nutzen für diese Ableitung... (außer zum Üben von Ableitungsgregeln...)
  ─   joergwausw 08.07.2021 um 19:21

Super, vielen Dank. Die Aufgabe ist eine Übungsaufgabe aus meinen Klausuren die vom Dozenten zur Verfügung gestellt worden sind. Problem ist, ich habe die Ableitungsregeln nicht mehr aufm Kasten. Schau mir jetzt die Regeln an und hoffe damit einen Teil zu verstehen.   ─   user9708bf 08.07.2021 um 21:50

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man könnte es zum Aufschreiben des Terms ja mal mit Klammern versuchen... wer solche Terme bekommt, müsste das doch eigentlich können.
Hellsehen ist anstrengend...

Mit diesen Klammern sähe
( e^(4x^3+4x^2+2x) ) / ((6x^2+4x^3)^(1/5)) + 7x^3
dann so aus:
$$
\frac{e^{4x^3+4x^2+2x} }{(6x^2+4x^3)^{1/5}}+7x^3\text{,  oder mit Wurzel }\frac{e^{4x^3+4x^2+2x} }{\sqrt[5]{6x^2+4x^3}}+7x^3.
$$
Ich gehe davon aus, dass die $7x^3$ hinter den Bruch gehören, weil die in einer neuen Zeile standen.

Um die Fragen zu beantworten:

- welche: Du  brauchst Summenregel, Faktorregel, Potenzregel, Quotientenregel (oder alternativ Produktregel, wenn Du die Potenz der Wurzel im Nenner umschreibst) und natürlich die Ableitung von $e^x$.

- wie: üblicherweise arbeitet man sich von außen nach innen vor. Damit käme die Quotientenregel direkt nach dem $+7x^3$. Dafür brauchst Du die Ableitungen von Zähler und Nenner - hierbei jeweils die Kettenregel ... usw.
(man kann auch von innen nach außen arbeiten, wenn man die Zwischenergebnisse ordentlich aufschreibt und dann später richtig verwendet und dabei den Überblick behält, was noch fehlt und das dann nachholt...)


Für Anfänger ist dieser Funktionsterm aber nicht wirklich geeignet...
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