Wie bestimmt man eine Umkehrabbildung

Aufrufe: 38     Aktiv: 08.07.2021 um 09:01

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Hallo,kann mir jemand bitte anhand eines Beispiels erklären, wie man eine Umkehrfunktion/Umkehrabbildung von einer Funktion bestimmt und bestimmt,ob diese dann injektiv/surjektiv/bijektiv ist? Mein Dozent meinte, dass man das anhand der ersten Ableitung erklären könnte, aber das verstehe ich leider nicht. Also was heißt das dann, wenn die erste Ableitung größer 0 ist? Also die Funktion ist dann ja streng monoton steigen, aber was heißt das dann? Ist sie dann injektiv oder surjektiv? Oder bijektiv, weil bijektiv ja bedeutet, dass zu jedem X-Wert genau ein Y-Wert gibt?
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Der Ansatz über die erste Ableitung ist nur dann sinnvoll, wenn man es mit einer überall differenzierbaren (und meist reellwertigen) Funktion zu tun hat. Anyway, die erste Ableitung liefert dir die Bereiche, in denen deine Funktion streng monoton steigt/fällt, dort ist die Funktion ersichtlich injektiv. In einer Umgebung, wo die Ableitung das Vorzeichen wechselt (also in einer Umgebung einer Nullstelle) ist deine Funktion nicht umkehrbar, da nicht injektiv. 

Für die Umkehrbarkeit brauchst du notwendigerweise immer Injektivität. Surjektivität ist in sofern dann notwendig, wenn du die Umkehrfunktion auf dem gesamten Zielbereich definieren möchtest, andernfalls musst du halt den Zielbereich einschränken auf den Bildbereich. Ist beides erfüllt (Injektivität + Surjektivität), so hast du ohnehin bereits eine bijektive Zuordnung. Bijektive Funktionen sind immer (überall) umkehrbar.

Überleg dir warum eine Funktion zwingend injektiv sein muss, um eine Umkehrfunktion zuzulassen.

Wie findet man eine Umkehrfunktion? Bei reellwertigen Funktionen üblicherweise in dem man "die variablen Vertauscht und dann nach \(y\) auflöst". 

Ist \(f\colon X\to Y\) deine Abbildung, so ist die Umkehrabbildung \(g\colon Y\to X\) diejenige (eindeutig bestimmte) Abbildung, für die gilt, dass \( f\circ g = \operatorname{id}_Y\) und \(g\circ f = \operatorname{id}_X\).

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