Beweis Mathe, Mengenlehre

Aufrufe: 200     Aktiv: 29.10.2023 um 23:02

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Fu ̈r Mengen A, B Mengen sei A△B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Sei A eine Menge von Teilmengen der Menge {1, 2, . . . , n}, so dass
(i) {i} ∈ A fu ̈r alle i ∈ {1,...,n} und
(ii) fu ̈r A, B∈A ist A△B∈A.
Zeigen Sie: A entha ̈lt jede Teilmenge von {1, . . . , n}.



Ich habe verstanden, dass innerhalb von der Menge A mehrere Teilmengen 1,2,... vorhanden sind. 
Ich habe jedoch Probleme dabei etwas mathematisch zu zeigen und weiß nicht wie man vorgehen soll. Wenn mir jemand dazu noch Videos bezüglich dieses Thema von Daniel Jung zuschicken könnte, würde ich mich sehr freuen.

EDIT vom 29.10.2023 um 22:10:



Ich habe hier versucht etwas zu 1. zu formulieren, bin jedoch schnell gescheitert. Ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiterkommen soll.
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Hallo 
Ich versuche dir hier auch noch zu helfen. Lass mich die Aufgabe nochmals aufschreiben denn du hast da ungünstige Buchstaben gewählt:

Aufgabe
Sei $\mathcal{A}$ eine Menge von Teilmengen von $\{1,...,n\}$ so dass
  1. $\{i\}\in \mathcal{A}$ für alle $i\in \{1,...,n\}$
  2. Falls $A,B\in \mathcal{A}$, dann gilt $A\triangle B\in \mathcal{A}$

Nun wissen wir dass $A\triangle B:= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)$. Ich gebe dir 2 Tipps: 
  1. Versuch zu zeigen dass $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
  2. Sei $n=25$ als Beispiel, und wähle $C\subset \{1,...,25\}$ eine beliebige Teilmenge, dann könnte sie z.B. ja wie folgt aussehen, $C=\{1,5,7,8,10,25\}$. Na gut aber du kannst $C$ auch schreiben als $C=\{1\}\cup\{5\}\cup\{7\}\cup\{8\}\cup\{10\}\cup\{25\}$. Bemerke dabei dass alle Mengen disjunkt sind, das heisst eine leere Schnittmenge haben. Wenn nun $C\subset \{1,...,n\}$ eine allgemeine Teilmenge ist, was kannst du aus meiner obigen Bemerkung sagen? Wie kann man $C$ darstellen?
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Danke für die Erläuterung, ich habe versucht einen Ansatz zu formulieren, bin jedoch schnell gescheitert, ich würde mich über eine Rückmeldung sehr freuen!   ─   anonym30760 29.10.2023 um 22:11

Da diese Aufgabe ein wenig komplizierter ist, und ich nicht mehr so viel Zeit habe versuche ich dir einen Ansatz zu geben.

Nehmen wir an du hast meinen ersten Tipp bewiesen, also du weisst $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. Sei nun $C\subset \{1,...,n\}$ eine beliebige Teilmenge. Wir möchten Zeigen, dass $C\in \mathcal{A}$. Wir bemerken, dass $C=\{m_1,...,m_d\}$ wobei $m_1,...,m_d\in \{1,...,n\}$ und $d\leq n$.

(Bemerke $d$ kann nicht grösser sein als $n$ denn das würde bedeuten, dass zwei Elemente $m_i=m_k$ gilt für $i\neq k$, aber dann nimmst du einfach eines der doppelten Elemente weg. Ich hoffe das macht Sinn bis hierher. Was du auch merkst ist dass alle $m_i$'s verschieden sind, also es werden keine Elemente mehrfach auftauchen.)

Wir haben also $C=\{m_1,...m_d\}$ mit $d\leq n$ und $m_1,...m_d\in \{1,...,n\}$ verschieden. Nun aus dem obigen Beispiel siehst du dass man $C$ auch schreiben kann als eine Vereinigung von Einzelmengen, also in unserem Fall wäre das $C=\{m_1\} \cup...\cup \{m_d\}=\bigcup_{k=1}^d \{m_k\}$ . Aus der ersten Annahme von $\mathcal{A}$ weisst du dass alle $\{m_k\}\in \mathcal{A}$ liegen für $1\leq k\leq d$. Nun musst du nur noch zeigen dass $ \{m_1\} \cup...\cup \{m_d\}\in \mathcal{A}$.

Schauen wir einmal wieso $\{m_1\}\cup\{m_2\}$ in $\mathcal{A}$ liegen sollten. Denk daran wir haben bis jetzt noch nichts über $A\triangle B$ gebraucht, also wäre das ein guter Zeitpunkt. Siehst du wie und das hier hilft?

  ─   karate 29.10.2023 um 23:02

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