Eigenwerte Beweis

Aufrufe: 893     Aktiv: 09.05.2020 um 16:05

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Kann mir jemand bei dem Folgenden Beweis helfen ?

 

Ich soll zeigen "Gilt Q*x=landa*x für einen Eigenwert lamda Elment der Komplexen Zahlen x Element des C^n so folgt das Q^H*x=lamda(komplex Konjugiert)*x"

Q ist element von Gl(n,C)

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ich glaube für die aussage brauchst du, dass Q normal ist. sicher dass das nicht gegeben ist?   ─   b_schaub 09.05.2020 um 13:29

was meinst du mit normal?

Im grunde soll man ja zeigen das wenn Q transponiert und Komplex konjugiert ist das ich denn eigenwert lamda auch komplex konjugieren muss hab nur kein plan wie ich das zeige
  ─   henry_99 09.05.2020 um 13:34

also nicht noch dass der eigenvektor der gleiche sein soll? so stehts ja in deiner frage oben.
damit der eigenvektor immer der gleiche ist, braucht man aber dass Q mit Q^H kommutiert
  ─   b_schaub 09.05.2020 um 13:39

Also so wie ich das verstehe sollen wir zeigen das wenn Q*x=lamda*x gilt das dann mit dem selben Q bloss Komplex Konjugiert und transponiert und den selben lamda komplex konjugiert die gleichung Q^H*x=lamda(komplex Konjugiert)*x , wobei das H dafür steht das Q komplex Konjugiert und transponiert ist steht, gilt   ─   henry_99 09.05.2020 um 14:06

die x müssen in dem fall aber nicht die gleichen sein, zb hat die matrix [ 1 , 1 ; 0 , 1] zum ew 1 den ev (1,0)
die adjungiert matrix davon hat aber zum ew 1 den ev (0,1)
  ─   b_schaub 09.05.2020 um 14:24

ich glaube schon das das x das selbe sein muss
  ─   henry_99 09.05.2020 um 14:40

rechne meine beispielmatrix mal durch   ─   b_schaub 09.05.2020 um 14:53

ja ich verstehe was du meinst aber glaube solche Beispiele kommen gar nicht in frage da Q element von Gl(n,C) ist
  ─   henry_99 09.05.2020 um 15:57

dann nimm stattdessen die matrix [ i , i ; 0 , i]
(mein erstes beispiel liegt aber auch in der menge weil GL(n,R) < GL(n,C))
  ─   b_schaub 09.05.2020 um 16:05
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die beiden x müssen nicht die gleichen sein, trotzdem stimmt es, dass konj(lambda) ein ew von Q^H ist.

sei dafür lambda' das konjugierte von lambda:

es gilt det(Q^H - (lambda')*I) = det((Q-lambda*I)^H) = konj(det(Q-lambda*I)) also ist det(Q^H - (lambda')*I)=0 genau dann wenn
det(Q-lambda*I)=0   (eventuell muss man sich die gültigkeit der gleichungen noch kurz überlegen)

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