Skalarprodukt - Riemann Integral

Aufrufe: 48     Aktiv: 06.07.2021 um 15:30

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Ich habe hier versucht zu beweisen, dass <f,g> ein Skalarprodukt ist. Die Symmetrie sollte ich erfüllt haben. Nur bei der positiven Definitheit bin ich mir nicht ganz sicher ob ich die summe der beiden Funktionen f(x) richtig gebildet habe. Zudem weiß ich leider nicht wie ich zeigen soll, dass ein Integral > 0 ist. Ich bitte um Hilfe.

MfG
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Das Produkt $f^2(x)$ stimmt so nicht, aber auch wenn du es richtig aufschreibst, hilft dir das nicht weiter. Gehe wie folgt vor: Da $f\neq0$ gibt es ein $x\in(-1,1)$ mit $f(x)\neq0$. (warum? Das musst du begründen, z.B. per Widerspruch. Hier geht ein, dass es Polynome sind. Für allgemeine Funktionen gilt das natürlich nicht.) Nun verwende die Stetigkeit von $f$, um eine Umgebung $(x-\delta,x+\delta)\subseteq[-1,1]$ zu finden mit $f(y)\neq 0$ für alle $y\in(x-\delta,x+\delta)$.  Daraus und aus $f^2\geq0$ kannst du die Behauptung folgern.
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Warum denn f^2 >= 0, f = 0 wird doch bei der positiven Definitheit außen vor gelassen, oder?   ─   hendriksdf5 05.07.2021 um 16:09

Vergleiche von Funktionen sind immer punktweise gemeint, $f^2\geq 0$ ist eine abkürzende Schreibweise für $f^2(x)\geq 0$ für alle $x\in(-1,1)$. Auch wenn $f\neq 0$ ist, kann $f$ eine Nullstelle haben, also wäre es falsch, $f^2>0$ zu schreiben.   ─   stal 06.07.2021 um 15:30

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