Das Produkt $f^2(x)$ stimmt so nicht, aber auch wenn du es richtig aufschreibst, hilft dir das nicht weiter. Gehe wie folgt vor: Da $f\neq0$ gibt es ein $x\in(-1,1)$ mit $f(x)\neq0$. (warum? Das musst du begründen, z.B. per Widerspruch. Hier geht ein, dass es Polynome sind. Für allgemeine Funktionen gilt das natürlich nicht.) Nun verwende die Stetigkeit von $f$, um eine Umgebung $(x-\delta,x+\delta)\subseteq[-1,1]$ zu finden mit $f(y)\neq 0$ für alle $y\in(x-\delta,x+\delta)$.  Daraus und aus $f^2\geq0$ kannst du die Behauptung folgern.