1

Habe folgende Funktion: \(f = \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3; (a,b) \rightarrow (a^2, a+b, b)\)

Um die Abbildung auf Injektivität zu überprüfen, muss man ja schauen, ob \(f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \to a_1 = a_2 \text{ und } b_1 = b_2\)

Aber das \(\mathbb{R}^3\) irritiert mich ein wenig, benötigt es da noch ein drittes Element?

Angenommen: \(f(a_1, b_1)=f(a_2, b_2)\) und ich will \( a_1 = a_2 \text{ und } b_1 = b_2\) zeigen:

\(a^2_1 = a^2_2\)

\(a_1 + b_1 = a_2 + b_2\)

\(b_1 = b_2\)

Kann man das so machen?

gefragt vor 1 Monat
u
universeller,
Punkte: 17

 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

Ja, genau so geht es. Stur nach Schema, nicht durch R^3 irritieren lassen. Und jetzt hinschauen und erkennen, dass Du eigentlich fertig bist mit der Injektivität. Schau auf das, was zu zeigen ist.

geantwortet vor 1 Monat
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 8.18K
 

Durch Wurzel ziehen komm ich bei \(a^2_1 = a^2_2 \)auf \( a_1 = a_2 \)
\(b_1 = b_2 \) passt so, und \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2 \) muss ich nicht beachten, da \(a_1 = a_2 \) und \(b_1 = b_2\) bereits gezeigt ist?

  ─   universeller, vor 1 Monat

Warum so kompliziert? Und schon passiert der Fehler, so geht nicht Wurzel-ziehen. Warum ist Dir eine Gleichung mit Quadraten lieber als eine ohne? Du hast zwei einfache Gleichungen und eine kompliziertere. Es müssen alle drei Gleichungen passen.   ─   mikn, vor 1 Monat

Die Gleichung mit den Quadraten möcht ich ja loswerden, indem ich die Wurzel ziehe^^
\(sqrt(a^2) = a\) oder überseh ich da etwas?
  ─   universeller, vor 1 Monat

\(a_1+b_1 = a_2 + b_2 \to a_1 + b_1 - a_2 = b_2\)
Wenn ich diesen Teil bei \(b_1 = b_2\) einsetze, bekomme ich \(a_1 = a_2\)
  ─   universeller, vor 1 Monat

Letzteres ist das, was der macht, der's gerne einfach hat. Und als letztes noch die erste Gleichung prüfen - die darf nicht im Widerspruch zu den anderen stehen.
\(\sqrt{a^2}\neq a\), sehr häufiger Fehler (bitte merken!). Es gilt \(\sqrt{a^2}=|a|\).
  ─   mikn, vor 1 Monat

Ok, das wusste ich nicht. Um die erste Gleichung zu prüfen, muss ich dafür \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2 \) nach \(a_1+b_1-b_2 = a_2\) umstellen und für \(a_2\) in der ersten Gleichung einsetzen?
Aber dieses Betrag von \(a\) verwirrt mich jetzt^^
  ─   universeller, vor 1 Monat

Du hast drei Gleichungen, aus der 2. und 3. hast Du was erhalten? Das setzt man in die 1. ein und schaut, ob's erfüllt ist. Warum willst Du auflösen?   ─   mikn, vor 1 Monat

Jetzt blick ich gar nicht mehr durch... Also, ich hab einmal die ursprünglich 3. Gleichung \(b_1 = b_2\)
Da für \(b_2\) die 2. Gleichung eingesetzt, ergibt \(a_1 = a_2\)
Die erste Gleichung sieht nach dem Wurzel-ziehen so aus: \(\left| a_1 \right | = \left| a_2 \right| \)
Wie kann ich da jetzt die Ergebnisse, der 2. und 3. Gleichung, einsetzen?
  ─   universeller, vor 1 Monat

Um eine Gleichung zu prüfen, gibt es zwei Möglichkeiten: Man setzt die vermutete Lösung ein und schaut, ob sie erfüllt ist.
Das war der einfache Weg. Der komplizierte ist, die Gleichung zu lösen und zu schauen, ob dasselbe rauskommt wie bei den anderen Gleichungen.
Welchen Weg bevorzugst Du?
Du brauchst keine Wurzel, Du musst noch nicht mal rechnen bei der Aufgabe. Ich verstehe nicht, warum Du das willst.
  ─   mikn, vor 1 Monat

Also, das sind meine 3 Ausgangsgleichungen:

1. \(a_1^2 = a_2^2\)
2. \(a_1+b_1 = a_2 + b_2\)
3. \(b_1 = b_2\)

Von hier aus würd ich jetzt die 2. Gleichung einmal nach \(b_2\) und einmal \(a_2\) umstellen und in der 1. und 3. Gleichung einsetzen.
Wie würde Dein Weg aussehen?
  ─   universeller, vor 1 Monat

Ich sag's gerne nochmal: Ich schließe aus Gleichung 2 und 3, dass a1=a2 und b1=b2 ist und teste das mit Gleichung 1. Du suchst wieder einen komplizierteren Weg, ich fürchte, das bringt Dich wieder nicht weiter.   ─   mikn, vor 1 Monat

Das hab ich verstanden, aber um es mit Gleichung 1 zu testen, muss man da ja einsetzen oder wie soll das funktionieren?   ─   universeller, vor 1 Monat

Ja, einsetzen, und zwar das, was man schon aus den anderen Gleichungen hergeleitet hat (hab ich aber auch schon gesagt).   ─   mikn, vor 1 Monat

Das hätt ich ja gemacht: \(a_1^2 = (a_1+b_1-b_2)^2\)
  ─   universeller, vor 1 Monat

Von allen Möglichkeiten wählst Du die komplizierteste.... Was hast Du aus den beiden Gleichungen hergeleitet? Hast Du oben selbst gesagt. Einsetzen willst Du lieber was kompliziertes. Ich verstehe Deine Taktik wirklich nicht.   ─   mikn, vor 1 Monat

Ich hab aus \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2\) einmal \(a_1+b_1-a_2=b_2\) und einmal \(a_1 + b_1 -b_2 = a_2\) hergeleitet.
Die erste Herleitung in die 3. Gleichung eingesetzt, ergibt: \(b_1 = (a_1+b_1-a_2) \to a_2 = a_1\)
  ─   universeller, vor 1 Monat

Du hast a1=a2 und b1=b2 hergeleitet. NUR das und die erste Gleichung brauchst du. Und es gibt nichts mehr zu rechnen und umzuformen, nur einzusetzen. Mir fällt auch nicht ein wie ich dir da noch helfen kann. Es wird ja nicht besser, wenn ich es noch 3mal sage.   ─   mikn, vor 1 Monat

Wüsste nicht, wie man diese 2 Herleitungen einsetzen soll   ─   universeller, vor 1 Monat

Man darf immer gleiches für gleiches einsetzen. Dann schau mal, ob Du Gemeinsamkeiten zwischen der ersten Gleichung und den beiden hergeleiteten (denen aus meinem vorigen Kommentar entdeckst).   ─   mikn, vor 1 Monat

Dann setz ich \(a_1, a_2\) in die erste Gleichung ein. Ist somit gezeigt, dass \(a_1 = a_2\)?   ─   universeller, vor 1 Monat

Ich bewundere Dein Durchhaltevermögen (keine Ironie, finde ich wirklich gut). Aus Gl 2 und 3 wurde schon a1=a2 hergeleitet, es darf halt nur nicht im Widerspruch zu Gl 1 stehen. Was man durch Einsetzen testet, dann steht da nämlich nach Einsetzen a1=a1. Also fertig.
  ─   mikn, vor 1 Monat

Gut, dann hätten wir das endlich geklärt, danke^^   ─   universeller, vor 1 Monat
Kommentar schreiben Diese Antwort melden