Erstmal machen wir einen allgemeinen Ansatz \(f(x)=a\sin(bx+c)+d\).

Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen Periode \(p\) und dem Faktor \(b\):

\(\frac{2\pi}{b}=p\).

Daraus folgt also \(b=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). Nun müssen noch a,c und d bestimmt werden. Die Wendepunkte in der normalen Sinusfunktion sind ja immer die Nullstellen. Damit die Wendepunkte den y-Wert 1 haben, muss die Sinusfunktion also um 1 nach oben verschoben werden, es gilt also \(d=1\). Nun müssen wir nur noch sicherstellen, dass die Funktion den Hochpunkt bei H(3\5) hat. Da die Funktion um 1 nach oben verschoben ist, muss sie also eine Amplitude von \(a= 4\) haben. Es fehlt nun nur noch der Faktor \(c\). Dazu setzen wir den Punkt (3\5) in die Funktionsgleichung ein:

\(5=4\sin(\frac{\pi}{3}\cdot3+c))+1\) |\(-1\)

\(4=4\sin(\pi +c)\) | \(:4\)

\(1=\sin(\pi +c)\) |\(\arcsin()\)

\(\frac{\pi}{2}=\pi+c\) | \(-\pi\)

\(c=-\frac{\pi}{2}\).

Also lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=4\sin\left(\frac{\pi}{3}x-\frac{\pi}{2}\right)+1\).

Allgemeine Form:

\(f(x) = a*\sin{(b(x+c))}+d\) bzw.
\(f(x) = a*\sin{(bx+c'))}+d\)

1. Periode \(p=6 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\) da \(p = \frac{2\pi}{b}\)

2. Hochpunkt (3|5) \(\Rightarrow c=-\frac{p}{4} =- \frac{3}{2}\) da HP für \(c=0\) bei \(\frac{p}{4}\), da hier HPbei \(3=\frac{p}{2} \Rightarrow c\) Fkt. um \(\frac{p}{4}\) entlang der x-Achse verschoben

3.Wendepunkte bei \(y=1\Rightarrow d = 1\) da normalerweise WP bei \(y=0\)

4. HP (3|5) \(\land \;d=1 \Rightarrow a=5-1=4\) da Sinusfunktion um 1 entlang y-Achse verschoben, und \(max(\sin{x}) = 5\)

Zusammengesetzt:

\(f(x) = 4 * \sin{(\frac{\pi}{3}(x-\frac{3}{2})} + 1\) bzw.

\(f(x) =4 * \sin{(\frac{\pi}{3}x-\frac{\pi}{2})} + 1\)