Wie beweise ich dass dieses Mass additiv ist?

Aufrufe: 872     Aktiv: 28.09.2021 um 14:34
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Hallo zusammen
 
Ich habe folgende Aufgabe:
 
Sei \(F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) eine wachsende Funktion. Sei \(Q(\mathbb{R})\) der Mengenring, welcher alle endlichen Vereinigungen von disjunkten endlichen halboffenen Intervallen \([a,b)\) enthält.
Zeigen sie, dass ein endlich additives Mass \(\mu _F\) auf \(Q(\mathbb{R})\) existiert so dass $$\mu _F([a,b))=F(b)-F(a)$$
 
Mein Problem besteht darin, dass ich nicht sehe was \(\mu _F\) von der Vereinigung zweier disjunkter Intervalle ist, denn wir können ja diese nicht als ein Intervall schreiben, daher bin ich verwirrt das in der Definition von \(\mu _F\) nur ein Intervall verwendet wird.
Daher habe ich mühe die endliche Additivität zu zeigen.
 
Ich hätte da wie folgt angefangen:
 
Seien \(D,E\in Q(\mathbb{R})\) disjunkte Mengen. $$\Rightarrow D=\cup_{i=1}^n[a_i,b_i), \,\,\, E=\cup_{j=1}^m[c_j,d_j)$$
Nun betrachten wir $$\mu_F(D\cup E)=\mu_F((\cup_{i=1}^n[a_i,b_i))\cup (\cup_{j=1}^m[c_j,d_j))$$
Da wir wissen, dass \(Q(\mathbb{R})\) ein Mengenring ist, gilt dass \(D\cup E \in Q(\mathbb{R})\), das heisst \(D\cup E=\cup_{k=1}^l[u_k,v_k)\). Da nun aber nicht nur D (resp. E) in sich disjunkt ist, sondern auch D bezüglich E disjunkt ist, dachte ich mir dass $$D\cup E=\cup_{k=1}^l[a_k,b_k)\cup [c_k,d_k)$$
Dann hätte ich \(\mu _F\) von dieser neuen Menge betrachtet, doch damit kann ich irgendwie nichts anfangen da wie schon gesagt hier eine Vereinigung von Intervallen steht, in der Definition aber nur ein Intevall gebraucht wird. Könnte mir da jemand weiterhelfen?
 
Vielen Dank für eure Hilfe. 
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1 Antwort
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Ich denke mal, dass ein Inhalt gemeint ist und kein Maß. 

Die Idee ist zu zeigen, dass $\mu_F$ ein Inhalt auf $\mathcal{F}=\{[a,b): a,b \in \mathbb{R}, a\leq b\}$ ist, denn dann gibt es auch ein Inhalt auf $Q(\mathbb{R})$.
Daher genügt es, wenn man das Ganze für Intervalle aus $\mathcal{F}$ zeigt.
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aber wenn du zwei disjunkte Intervalle betrachtest und deren Vereinigung anschaust, so sagt dir ja \(\mu_F\) noch nichts, wie du damit rechnen kannst.   ─   karate 28.09.2021 um 13:22
Doch klar. Guck dir die Definition von endlich additiv mal genau an.   ─   orbit 28.09.2021 um 13:35
aber wir müssen ja zeigen dass es endlich additiv ist, nicht einfach annehmen. Oder sehe ich das falsch?   ─   karate 28.09.2021 um 13:44
Ne das ist schon richtig. Aber ein Funktion $\mu:\mathcal{C}\rightarrow [0,\infty]$ ist endlich additiv, wenn für pw. disj. $A_i\in \mathcal{C}$ mit $\bigcup_{i=1}^{n}A_i \in \mathcal{C}$ gilt $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\mu(A_i).$$

Wenn du jetzt nur zwei disjunkte Intervalle aus $\mathcal{F}$ betrachtest, wie sehen dann die Grenzen aus, damit die Vereinigung wieder in $\mathcal{F}$ liegt?   ─   orbit 28.09.2021 um 13:59
Ja sie müssen links abgeschlossen und rechts offen sein. Aber z.B. kann ich die Vereinigung \([1,2)\cup [4,5)\) gar nicht mehr zusammenfassen da es ja einen mittleren Teil gibt der nicht eingeschlossen ist.   ─   karate 28.09.2021 um 14:15
Ja richtig, aber deine betrachteten Intervalle erfüllen damit auch nicht die Voraussetzungen die bei der endlichen Additivität gelten müssen.
Nochmal, es werden pw. disj. $A_i\in \mathcal{C} \textbf{ mit } \bigcup_{i=1}^{n}A_i \in \mathcal{C}$ betrachtet. Letzteres ist, wie du richtig sagst, bei deinem Beispiel nicht gegeben. Die obige Gleichheit wird aber nur für Mengen gefordert, die beide Voraussetzungen erfüllen.   ─   orbit 28.09.2021 um 14:27
aha okei super danke!   ─   karate 28.09.2021 um 14:34

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