Rekursive Folge in explizite Form

Erste Frage Aufrufe: 473     Aktiv: 16.09.2023 um 10:40

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Hallo, 

es geht um die Aufgabe zum Thema Folgen.
Ich verstehe nicht wie man von der rekursiven auf die explizite Darstellung kommt.
Xn = Xn-1 + a*Xn-1 + b

Nun soll die Darstellung auf eine explizite zurückgeführt werden, sodass Xn direkt aus X0 berechnet werden kann. Ich komm einfach nicht auf das Ergebnis. Vielen Dank im Voraus.

EDIT vom 15.04.2023 um 19:26:

X1=Xo+aXo+ß

X₂ = Xo+2aXo+2ß+α²Xo+aß

X3 = Xo+3α Xo +3ß + 3α²Xo+3aß+α³Xo+α²ß

X4=Xo+4α Xo +6α² Xo + 4α³ Xo + 4 α²ß +6 αß +4ß+α X₂+α^4ß Xo + α³ẞ







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Fasse erstmal in der Rekursionsformel zusammen und benenne einen neuen Faktor $c$ (dient der Übersicht).
Dann rechne aus: $x_1, x_2, x_3,...$, drücke dabei alles durch $x_0,b,c$ aus, bis Du das System erkennst. Formuliere dann eine allgemeine Formel.
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Hallo,
vielen Dank erstmal für die Antwort. Das habe ich schon alles gemacht, aber die Formel erschließt sich mir nicht.
Ich habe als Ansatz der expliziten Formel: Xn= (1+a)^n *X0
Das ist denke ich auch korrekt so. Nur komme ich nicht auf den Teil mit dem b.
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 17:19

Wie lauten Deine Ergebnisse für $x_1, x_2, x_3, x_4$? Benutze das Summenzeichen beim Zusammenfassen. Kannst ein Foto hochladen (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 15.04.2023 um 17:36

Das Foto hochladen funktioniert leider nicht.   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 18:50

Dann nutze ein externe URL für das Foto oder schreibe es hiermit auf: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf   ─   mikn 15.04.2023 um 18:56

Hab's hingeschrieben   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 19:40

Ok. Ich hatte Dir aber mehrere Tipps gegeben. Die sind dafür da, dass Du leichter die Formel erkennst.   ─   mikn 15.04.2023 um 20:00

Haben Sie eigentlich die Lösung herausgefunden?   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 20:32

Ich kenne die Formel und weiß, wie man am besten zum Ziel kommt.   ─   mikn 15.04.2023 um 20:35

Wie haben Sie die so schnell herausgefunden?
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 20:53

@Fragy Du hast doch den einen Teil bereits in deinem ersten Kommentar richtig von der Idee her. Warum schreibst du das $(1+a)^n$ vor dem $x_0$ als Summe aus? Mache es dir doch nicht unnötig kompliziert! Wie du dir ja bewusst bist fehlt dir nur noch der Faktor vor dem $b$. Der Hinweis von mikn war, nutze das Summenzeichen! Deine $x_1,\ldots, x_4$ sind zwar richtig, aber dadurch das du die Faktoren vor den $b$‘s zusammengefasst hast, fällt dir die Gesetzmäßigkeit wahrscheinlich nicht auf. Mein Tipp, markiere dir farblich was bei jedem weiteren $x_i$ nach $x_1$ für ein Term mit $b$ dazukommt. Dann, mit dem Hinweis von mikn, sollte es klar werden.   ─   maqu 15.04.2023 um 21:02

Ich verstehe das mit dem Summenzeichen leider nicht. Ich hab mir bereits aufgeschrieben welche Faktoren vor den Bs dazukommen, jedoch fällt mir absolut keine Gesetzmäßigkeit auf.   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 21:17

Ich hab Dir den Tipp mit dem $c$ gegeben. Da Du den nicht beherzigst, kriegst Du eine lange unübersichtliche Formel, an der Du verständlicherweise nichts erkennst. Der Tipp mit dem Summenzeichen bringt erst was, wenn Du vorher den mit dem $c$ nutzt.   ─   mikn 15.04.2023 um 21:30

Was soll ich durch das c ausdrücken? Meine Mathefähigkeiten sind nicht das gelbe vom Ei. Die Aufgabe ist schon über meinem Niveau.   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 21:47

Das steht im ersten Satz meiner Antwort. Und das steht deshalb gleich am Anfang, weil damit von Anfang an alles viel einfacher wird.   ─   mikn 15.04.2023 um 21:57

Das wird wohl nichts mehr - vielen Dank trotzdem.   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:04

Wo ist denn das Problem? Mit Mathe hat das erstmal gar nichts zu tun, das kommt danach.   ─   mikn 15.04.2023 um 22:06

Was soll durch das c ausgedrückt werden? Wie kommt man überhaupt darauf ein c für was auch immer zu verwenden?   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:09

@Fragy: warum aufgeben? Du hast doch jetzt schon so viel Zeit und Mühe in die Aufgabe gesteckt, lass das nicht umsonst sein!

Du setzt $1+a=c$, wie mikn beschrieben hat. Nun hast du also $x_n=cx_{n-1} + b$! Nun fange noch einmal mit $x_1$ an und berechne daraus $x_2, x_3, x_4$.
  ─   maqu 15.04.2023 um 22:13

1 b kommt immer dazu und der vorfaktor c   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:18

Ich hab es Dir in kleine Schritte zerlegt, zuerst zusammenfassen. Das hast Du anscheinend noch nicht gemacht. Warum, weiß ich nicht. Dann hättest Du das mit dem $c$ gesehen und hättest Deine Formeln gleich schreiben können mit $b,c$. Steht alles schon in der vor 5 Std. gegebenen Antwort.
Wir werden Dich hier nicht zur Lösung tragen. Du musst schon selbst dahin kommen. Jetzt stünde an (eigentlich wie gesagt vor 5 Std schon), die Formeln mit $b,c$ zu schreiben. Wenn Du das machst, können wir Dich danach weiterbegleiten.
Füge die neuen Formeln oben ein.
  ─   mikn 15.04.2023 um 22:35

Für X2 kommt raus X2=c^2*X+cb+b
Für X3=c^3*X+c^2*b +2b
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:42

X3 stimmt nicht. Danach weiter X4, X5,.... Klammere b aus und benutze das Summenzeichen.   ─   mikn 15.04.2023 um 22:47

X3=c^3*X+c^2*b+bc+b   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:51

X4=c^4*X+c^3*b+c^2*b+bc+b   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:52

Wie soll ich das b ausklammern, das kommt doch nicht überall vor?   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:53

Nur da ausklammern, wo's geht. Und finde dann eine erste Formel für Xn. Danach vereinfachen wir die noch.   ─   mikn 15.04.2023 um 22:55

X2=c^2*X+b*(c+1)
X3=c^3*X+b*(c^2+c+1)
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 22:59

Weiter wie eben erklärt.   ─   mikn 15.04.2023 um 23:01

Xn=c^n*X+b(...
Dann weiss ich nicht weiter
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:02

Bitte lies die Tipps, sonst kommen wir nicht weiter. Ich sagte: X4, X5,.... Dann die Formel.   ─   mikn 15.04.2023 um 23:03

X4=c^4*X+b(c^3+c^2+c+1)
X5=c^5*X+b(c^4+c^3+c^2+c+1)
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:07

Weiter. Denk auch mal unaufgefordert weiter.   ─   mikn 15.04.2023 um 23:08

Naja wahrscheinlich muss man jetzt irgendwie eine summe bilden aber ich weiss nicht wie.   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:11

Wie lautet Xn (erstmal mit Summe)?   ─   mikn 15.04.2023 um 23:19

Xn=C^n*X+b(...   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:22

Erkennst Du kein Muster im Klammerausdruck? Schreib die Klammer vollständig hin.   ─   mikn 15.04.2023 um 23:24

Xn=C^n*X+b(c^n-1...   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:25

immer 1+c+c^2+c^3+...c^n-1   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:26

achso c^0 bis c^n-1
ist das die lösung?
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:27

Eine Summe wie $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ könnte man mit Hilfe des Summenzeichens schreiben als $\displaystyle{\sum_{k=1}^5 k^2}$. Nun versuche das mal auf deine Summe anzuwenden. Du hast es doch bald geschafft! Als weiterer Tipp, es sind $c=c^1$ und $1=c^0$.   ─   maqu 15.04.2023 um 23:27

Ja, das ist die Summe (es geht auch ohne Summenzeichen), aber noch nicht die Lösung. Wichtig ist, dass Du die Summe wiedererkennst - die war schonmal Thema in der Vorlesung. Und lass Dir bitte nicht jeden kleinen Denkschritt vorgeben - macht Dir das keinen Spaß dieses Rätsel zu lösen?   ─   mikn 15.04.2023 um 23:30

Die Summe von n=0 bis n-1 ∑c^n
ist das so richtig?
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:32

Xn=X(a+1)^n + b*∑c^n
unten vom summenzeichen steht n=0 und oberhalb n-1
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:37

n=0 bis n-1 macht keinen Sinn. Ich wiederhole: Es geht auch ohne Summenzeichen usw. (siehe vorigen Kommentar).   ─   mikn 15.04.2023 um 23:37

Xn=X(a+1)^n + b*∑c^n-1
unten vom summenzeichen steht n=1 und oberhalb n
ist es so korrekt?
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:42

Wie funktioniert das denn ohne Summenzeichen?   ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:43

Du hast es doch oben schon gesagt: "achso..." und ich hab gesagt, "ja, das ist die Summe." Was bitte kann man denn daran missverstehen? Und hast Du diesen Kommentar (meinen vorletzten) von mir weitergelesen?   ─   mikn 15.04.2023 um 23:47

Ja klar habe ich ihn weitergelesen. Was soll der mir sagen? Xn=X(a+1)^n + b*∑c^n-1
unten vom summenzeichen steht n=1 und oberhalb n
das dürfte doch jetzt die Lösung sein.
  ─   user4ebf72 15.04.2023 um 23:54

Warum schreibst Du es nochmal hin, wo ich doch schon gesagt habe, dass es falsch ist und auch nicht die Lösung ist? So zieht sich der Dialog hier weiter hin. Ob Du das gelesen hast, hab ich gefragt, weil Du mit keinem Wort darauf eingehst. Auch jetzt nicht. Stichwort wiedererkennen. Sag was dazu.
Da Du (auch) mit dem Summenzeichen Probleme hast, hielt ich es für einfacher ohne. Nun willst Du wieder mit?!
  ─   mikn 15.04.2023 um 23:59

Offenbar krieg ich es weder mit noch ohne Summenzeichen hin. Was soll das für eine Summe sein? Und aus welcher Vorlesung sollte ich die kennen?   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 00:04

Du hast es ohne SZ hingekriegt, aber noch nicht bis zur Lösung. Aus der Mathe-Vorlesung. Geometrische Summe. Schlag das nach.   ─   mikn 16.04.2023 um 00:05

Kurz vor Ende zu scheitern wäre jetzt auch unschön. kommt nach dem SZ dann (1-c^n+1)/(1-c)?   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 00:12

Wir machen ohne Summenzeichen weiter. Schau Deine Summenformel aus der Vorlesung (anscheinend hast Du was gefunden, vermute ich, weil Du es nicht sagst) genau an und wende sie korrekt hier an.   ─   mikn 16.04.2023 um 00:14

(1-c^n)/(1-c)
Ansonsten keine ahnung.
  ─   user4ebf72 16.04.2023 um 00:20

Ja, das stimmt so. Kriegst Du nun die gesamte Formel hin? Also $x_n=...$?   ─   mikn 16.04.2023 um 00:26

Xn=X(a+1)^n + b*((1-c^n)/(1-c))   ─   user4ebf72 16.04.2023 um 00:28

X0 muss da stehen, nicht X. Ansonsten stimmt es nun. Für c solltest Du noch 1+a einsetzen.
Hak die Frage dann als beantwortet ab (Anleitung siehe e-mail). Gute Nacht.
  ─   mikn 16.04.2023 um 00:32

Also dann Xn=Xo(a+1)^n + b*(((1-(1+a)^n)/((1-(a+1)))
Wird erledigt - vielen Dank und gute Nacht!
  ─   user4ebf72 16.04.2023 um 00:38

Ein Upvote für die Unermüdlichkeit von Fragy und Helfer gibt es von mir! Auch wenn der Weg lang war, solch einen Austausch und Dialog wünsch ich mir persönlich hier im Forum öfter! @Fragy: Super das du am Ball geblieben bist! Vergiss nicht wie versprochen die Frage abzuhaken. Gute Nacht auch von mir.🙃   ─   maqu 16.04.2023 um 01:03

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