Die Eulersche Identität

Erste Frage Aufrufe: 57     Aktiv: 23.03.2021 um 23:37

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Sehr geehrte Damen und Herren,

ich möchte die Eulersche Identität lernen. Zur Zeit besuche ich die 9.Klasse. Wir bearbeiten in Mathe noch pi, aber, da dass schon langweilig ist und ich das kann, wollte ich zu erst fragen:

Wofür man die Eulersche Identität braucht
und ob jemand mir die Themen wir die Konstante e oder imaginären Zahl erklären kann.


Beste Grüße und einen schönen Tag noch!
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Hallo, folgende Themen kannst du dir mal genauer anschauen, um die Eulersche Identität besser zu verstehen. Z. B. Gibt es auf YouTube dazu einige Erklärvideos. Aber du kannst natürlich auch hier gerne nachfragen.

  • komplexe Zahlen \(z=a+b\cdot i\)
  • Polarkoordinaten \(z=re^{i\varphi}\)
  • Taylor-Entwicklung:
    \(\begin{align}
    \mathrm{e}^{\mathrm{i} y} &= 1 + \mathrm{i} y + {(\mathrm{i} y)^2 \over 2!} + {(\mathrm{i} y)^3 \over 3!} + {(\mathrm{i} y)^4 \over 4!} + \dots\\
           &= \left(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \dots \right) + \mathrm{i} \cdot \left(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \dots \right)\\
           &= \cos (y) + \mathrm{i}\cdot \sin (y)
    \end{align}\)
  • Eulersche Formel \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} = \cos\left(y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y\right)\)
  • Eulersche Identität \(e^{i\pi}=-1\)

Die Eurlersche Identität ist also ein Spezialfall der Polarkoordinaten-Darstellung in der Ebene. Für die Polarkoordinaten \(z=re^{i\varphi}\) haben wir in der Eulerschen Identität also \(r=1\) und \(\varphi=\pi\). Das heißt man kann auf die -1 auch graphisch kommen, in dem man in der Ebene einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung zeichnet und 180° gegen den Uhrzeigersinn entlang geht. Dann kommt man zum Punkt \((-1,0)\) also ist \(z=e^{i\pi}=-1+0\cdot i\).
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Wofür / Für was wird die Formel benutzt/genutzt?   ─   user21d7eb 23.03.2021 um 22:23

Mit der Eulerschen Formel kann man Polarkoordinaten zurück in karteische Koordinaten umwandeln.

Die Eulersche Identität ist dann die Umwandlung der Koordinaten \(r=1\), \(\varphi=\pi\) in die kartesischen Koordinaten \(a=-1\), \(b=0\).

Sie ist also nicht wirklich von Bedeutung, fällt aber durch ihre Schönheit auf. Sie stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen vier der bedeutendsten mathematischen Konstanten her.
  ─   holly 23.03.2021 um 23:37

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