Hallo, folgende Themen kannst du dir mal genauer anschauen, um die Eulersche Identität besser zu verstehen. Z. B. Gibt es auf YouTube dazu einige Erklärvideos. Aber du kannst natürlich auch hier gerne nachfragen.

• komplexe Zahlen \(z=a+b\cdot i\)
• Polarkoordinaten \(z=re^{i\varphi}\)
• Taylor-Entwicklung:
  \(\begin{align}
  \mathrm{e}^{\mathrm{i} y} &= 1 + \mathrm{i} y + {(\mathrm{i} y)^2 \over 2!} + {(\mathrm{i} y)^3 \over 3!} + {(\mathrm{i} y)^4 \over 4!} + \dots\\
         &= \left(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \dots \right) + \mathrm{i} \cdot \left(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \dots \right)\\
         &= \cos (y) + \mathrm{i}\cdot \sin (y)
  \end{align}\)
• Eulersche Formel \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} = \cos\left(y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y\right)\)
• Eulersche Identität \(e^{i\pi}=-1\)

Die Eurlersche Identität ist also ein Spezialfall der Polarkoordinaten-Darstellung in der Ebene. Für die Polarkoordinaten \(z=re^{i\varphi}\) haben wir in der Eulerschen Identität also \(r=1\) und \(\varphi=\pi\). Das heißt man kann auf die -1 auch graphisch kommen, in dem man in der Ebene einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung zeichnet und 180° gegen den Uhrzeigersinn entlang geht. Dann kommt man zum Punkt \((-1,0)\) also ist \(z=e^{i\pi}=-1+0\cdot i\).