Für den ersten Teil genügt es, für jedes $x\in\mathbb Q$ eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ mit $x_n\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ für alle $n\in\mathbb N$ und $x_n\xrightarrow{n\to\infty}x$ anzugeben, denn dann ist $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0\neq\frac1q=f(\lim_{n\to\infty}x_n),$$ im Widerspruch zur Stetigkeit.

Für den zweiten Teil musst du für jedes $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ und $\varepsilon>0$ ein $\delta$ finden, sodass jede rationale Zahl in $(x-\delta,x+\delta)$ im Nenner eine Zahl größer als $\frac1\varepsilon$ hat. In (z.B.) $(x-1,x+1)$ gibt es nur endlich viele Brüche, deren Nenner in vollständig gekürzter Form kleiner als $\frac1\varepsilon$ ist, und weil $x$ irrational ist, haben sie alle positiven Abstand von $x$. Überlege dir, wie daraus die Behauptung folgt.