Beweis von Stetigkeit bzw nichtstetigkeit

Aufrufe: 67     Aktiv: 22.06.2021 um 15:34

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zu zeigen ist 1. Nicht Stetig und 2. stetig. Kann mir hier jemand helfen.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 74

 

Hast du dir denn selber Gedanken zur Aufgabe gemacht?   ─   stal 22.06.2021 um 14:21

Ja und zwar sehr viele Gedanken. Bis jetzt ist es noch ohne Ergebnis bzw. Ansatz.   ─   atideva 22.06.2021 um 15:17
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Für den ersten Teil genügt es, für jedes $x\in\mathbb Q$ eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ mit $x_n\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ für alle $n\in\mathbb N$ und $x_n\xrightarrow{n\to\infty}x$ anzugeben, denn dann ist $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0\neq\frac1q=f(\lim_{n\to\infty}x_n),$$ im Widerspruch zur Stetigkeit.

Für den zweiten Teil musst du für jedes $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ und $\varepsilon>0$ ein $\delta$ finden, sodass jede rationale Zahl in $(x-\delta,x+\delta)$ im Nenner eine Zahl größer als $\frac1\varepsilon$ hat. In (z.B.) $(x-1,x+1)$ gibt es nur endlich viele Brüche, deren Nenner in vollständig gekürzter Form kleiner als $\frac1\varepsilon$ ist, und weil $x$ irrational ist, haben sie alle positiven Abstand von $x$. Überlege dir, wie daraus die Behauptung folgt.
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