Isomorphismus zwischen GL(V)/SL(V)

Aufrufe: 253     Aktiv: 21.01.2023 um 09:25
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Sei V ein VR/K über K mit 1<=dim(V)<∞. Zeige: GL(V)/SL(V) ist isomorph zu (K/{0},*).
Also ich denke man solle hier mit dem Homorphiesatz vorgehen, nur fällt mir nicht wirklich ein Ansatz ein
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Schüler, Punkte: 25

 
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1 Antwort
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Hallo, ja Homomorphiesatz (Universellen Eigenschaft des Quotienten) ist richtig. Es folgt alles sofort aus Definitionen
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Student, Punkte: 10.87K

 
Es stehe GL ⁡ ( V) / SL(V) für die allgemeine lineare Gruppe, dargestellt durch reguläre Matrizen über einem Körper K . Die Determinante

det : GL ⁡ ( V) → K^* = K ∖ { 0 }
ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der speziellen linearen Gruppe SL ⁡(V) der n × n-Matrizen mit Determinante 1 besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt

GL ⁡ (V) / SL ⁡(V) ≅ K^*. Ich denke, dass dies noch nicht als Beweis genügt, wie müsste man alternativ sonst vorgehen?   ─   battel101 20.01.2023 um 20:27
Bevor du Homomorphiesatz anwendet du musst noch zeigen, dass \(\det: \operatorname{GL}(V)\to K^*\) surjektiv ist, ansonsten hast du es aber   ─   mathejean 20.01.2023 um 20:35
Wie zeigt man die Surjektivität genau, also, dass alle Elemente in K/{0} getroffen werden?   ─   battel101 20.01.2023 um 21:00
Denk an Diagonalmatrizen, kommst du selber drauf?   ─   mathejean 20.01.2023 um 21:02
Mhh ,ich vermute, dass das eine Anspielung auf folgende Eigeschaften von Diagonalmatrizen ist: Nämlich, dass die Determinante das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen ist.   ─   battel101 20.01.2023 um 21:10
Ganz genau, hast du eine Idee (nicht schwer) jetzt eine Matrix mit beliebiger Determinante zu konstruieren   ─   mathejean 20.01.2023 um 21:16
Ja eben überall Nullen, außer auf der Hauptdiagonale n Einträge: d_11, d_22.....d_nn (ist ja quadratisch)   ─   battel101 20.01.2023 um 21:24
Setz doch mal auf Hauptdiagonale alles 1 außer eins was du K^* beliebig wählst   ─   mathejean 20.01.2023 um 21:46
Ok....also seien alle d_i =1, außer ein bestimmter Eintrag d_j ungleich 1. Ok und sei d_j bel. aus K/{0}. Ok ich vermute man soll jetzt die Determinante halt nachrechnen, nur was hat das dann für einen Zusammenhang mit Surjektivität?   ─   battel101 20.01.2023 um 22:07
Aso, wenn die Determinante einer quadratischen Matrix ungleich 0 ist, dann kann man sie invertieren, sprich sie ist bijektiv, demnach surjektiv. Die Determinante kann hier nie 0 werden,   ─   battel101 20.01.2023 um 22:21
Ja, sehr gut, ich glaube du meinst das richtige. Für \(x \in K^*\) es ist \(\det A =x\), wobei z.B. \(A_{11}=x\), \(A_{ii}=1\) für \(i\geq 2\) und \(A_{ij}=0\) für \(i\not =j\), das ist gerade die Surjektivität. Die Aussage folgt jetzt sofort mit Homomorphiesatz   ─   mathejean 21.01.2023 um 09:25

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