"Normalerweise" schneiden sich 3 Ebenen in einem Punkt. Wenn Du aber Dir Deine 3 Gleichungen ansiehst, so stellst Du fest, dass die letzte Gleichung die Summe der beiden ersten ist. Es liegt lineare Abhängigkeit vor! Daher kannst Du eine Variable frei wählen, z.B. als t und die beiden anderen Variablen dann durch t ausdrücken. Dies liefert Dir die Parameterdarstellung der gesuchten Geraden.

Das ist ein Gleichungssystem von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Es gilt: e1+e2=e3, also kann man die Gleichung für e3 ohne Schaden streichen. Damit bleibt der Schnitt zweier Ebenen - da erwartet man auch eine Gerade (bei drei unabhängigen Ebenen eher einen Schnittpunkt).

\(e1+2\,e2 \Longrightarrow x=1\). Dies in e2 eingesetzt gibt \(z-y=1\).  Die Lösungsmenge ist dann:

\(\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ y \\ y+1\end{pmatrix} \Bigm| y\in R\right\}\)

\(\begin{pmatrix} 1\\ y \\ y+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)

und das ist die Punkt-Richtungsform der Schnittgeraden.