Lebesgue Integral Grenzwertvertauschen

Aufrufe: 79     Aktiv: vor 3 Tagen, 8 Stunden

0

Hi,

Wir hatten in der Vorlesung besprochen, dass es Folgen von stetigen Funktionen $f_n$ : [0, 1] → R≥0, welche
punktweise gegen eine stetige Funktion $f$ : [0, 1] → R≥0 konvergieren gibt, für die gilt:
\[ \lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]} f_n d\lambda \neq \int_{[0,1]} f d\lambda \]
Mich hätte nun interesiert was ein Beispiel für eine dieser Folgen ist, da ich selbst keine Folge gefunden haben bei der sowohl Folge und Grenzwert stetig und positiv sind, aber die Integrale ungleich.

Schon mal Vielen Dank im Voraus
Gruß
Michael

 

gefragt

Student, Punkte: 20

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1

Das ist tricky. Definiere dir die Funktion

$$f_n=\begin{cases}n^2x \qquad &x \in [0,\frac{1}{n}]  \\ n \qquad &x \in [\frac{1}{n},\frac{2}{n}]  \\ -n^2x+3n \qquad &x \in [\frac{2}{n},\frac{3}{n}] \\ 0 \qquad &x \in [\frac{2}{n},1] \end{cases}.$$

Diese Funktionen sind stetig und nicht-negativ. Zeichne sie!  Weiterhin gilt $\lim_{n \to \infty} f_n=0$ punktweise und die Grenzfunktion ist stetig. Wir berechnen aber nun das Integral. Wir berechnen das wohldefiniere Lebesgue Integral als wohldefiniertes Riemannintegral.

\begin{align}\int_0^1 f_n d\lambda&=\int_0^{\frac{1}{n}}n^2xdx+\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}ndx+\int_{\frac{2}{n}}^{\frac{3}{n}}-n^2x+3ndx+\int_{\frac{3}{n}}^10 dx \\ &=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+0=2. \end{align}

Aber nun haben wir

$$ \lim_{n \to \infty} \int_{[0,1]}f_n d\lambda=2 \neq 0=\int_{[0,1]} f d \lambda. $$

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 572

 

1
Vielen Dank!   ─   m.ott03 vor 3 Tagen, 8 Stunden

Kommentar schreiben

1
Hier ist noch ein weiteres Beispiel:

Setze
\( f_n(x) = \begin{cases} n^2x - n^3x^2, && x \in [0,\frac{1}{n}] \\ 0, && x \in [\frac{1}{n},1] \end{cases} \)

Die Folge der \( f_n \) konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion, aber für die Integrale gilt
\( \int_{[0,1]} f_n \ d\lambda = \int_0^{\frac{1}{n}} n^2x-n^3x^2 \ dx = \frac{1}{6} \).
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 7.05K

 

1
Vielen Dank!   ─   m.ott03 vor 3 Tagen, 8 Stunden

Kommentar schreiben