Das ist tricky. Definiere dir die Funktion

$$f_n=\begin{cases}n^2x \qquad &x \in [0,\frac{1}{n}]  \\ n \qquad &x \in [\frac{1}{n},\frac{2}{n}]  \\ -n^2x+3n \qquad &x \in [\frac{2}{n},\frac{3}{n}] \\ 0 \qquad &x \in [\frac{2}{n},1] \end{cases}.$$

Diese Funktionen sind stetig und nicht-negativ. Zeichne sie!  Weiterhin gilt $\lim_{n \to \infty} f_n=0$ punktweise und die Grenzfunktion ist stetig. Wir berechnen aber nun das Integral. Wir berechnen das wohldefiniere Lebesgue Integral als wohldefiniertes Riemannintegral.

\begin{align}\int_0^1 f_n d\lambda&=\int_0^{\frac{1}{n}}n^2xdx+\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}ndx+\int_{\frac{2}{n}}^{\frac{3}{n}}-n^2x+3ndx+\int_{\frac{3}{n}}^10 dx \\ &=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+0=2. \end{align}

Aber nun haben wir

$$ \lim_{n \to \infty} \int_{[0,1]}f_n d\lambda=2 \neq 0=\int_{[0,1]} f d \lambda. $$

Hier ist noch ein weiteres Beispiel:

Setze
\( f_n(x) = \begin{cases} n^2x - n^3x^2, && x \in [0,\frac{1}{n}] \\ 0, && x \in [\frac{1}{n},1] \end{cases} \)

Die Folge der \( f_n \) konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion, aber für die Integrale gilt
\( \int_{[0,1]} f_n \ d\lambda = \int_0^{\frac{1}{n}} n^2x-n^3x^2 \ dx = \frac{1}{6} \).