Beweis des Distributivgesetzes in Z

Aufrufe: 339     Aktiv: 11.05.2023 um 18:35

0
Liebes Forum,

beim Nachweis eines Ringes muss man ja u.a. die Gültigkeit des Distributivgesetzes nachweisen.

Sei R die Menge aller (a,b) mit a und b aus den ganzen Zahlen.

+ sei: (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
und * sei: (a,b)*(c,d)=(a*c,b*d).

Wenn man jetzt zeigen will, dass in R mit + und * das Distributivgesetz gilt, kommt man an eine Stelle, bei der man die Gültigkeit des Distributivgesetzes in Z benutzen / Voraussetzen muss.

Doch nun zu meiner Frage: Wie kann man diese Gültigkeit in Z eigentlich beweisen?

Tausend Dank!
gefragt

Punkte: 146

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Hallo, das kommt natürlich auf die gewählte Konstrruktiuon der ganzen Zahlen an. Angenommen die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ existieren (ich meine damit ein Modell, das die Peano-Axiome erfüllt). Allgemeiner sei $M$ ein kommutativer Monoid. Ich werde gleich zeigen, wie man aus $M$ bestmöglich eine abelian Gruppe $G$ macht. Im Fall von $M=\mathbb{N}$ können wir, dann auf $G$ eine Multiplikation erklären und dann nachrechnen, dass diese die Ringaxiome erfüllt. Proposition: sei $M$ kommutativer Monoid, dann existiert Gruppe $G$ und ein Monoidmorphismus $\iota: M \to G$, so dass 
$$\{\text{Gruppenmorphismen }G \to H\} \to \{\text{Monoidmorphismen }M \to H \text{ in eine Gruppe } H \} \\
f \mapsto f \circ \iota$$ eine Bijektion ist.

Falls soetwas existiert, es ist jedenfalls nach Konstruktion "die beste choice".

Beweis: Definieren auf $M^2$ die Äquivalenzrelation  $$
(x,y) \sim (x',y') :\Leftrightarrow \exists t \in M: x+y+t=x' +y' +t
$$
Möglicherweise es ist auch ohne das $t$ eine Äquivalenzrelation, ich bin nur etwas vorsichtig und denke nicht viel nach und habe Beweis von Lokalisierung kopiert.

Setze $G=M^2/\sim$ und definiere Addition komponentenweise (wohldefiniert!) und $\iota(m)=(m+m,m)$. Ende des Beweises.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 10.87K

 

Puh... Diese Antwort hilft mir ehrlich gesagt gerade Überhaut nicht weiter :D   ─   handfeger0 11.05.2023 um 17:56

1
Okay, lass mich so erklären. Du willst zeigen, dass Z distributiv ist. Dann muss man aber ersteinmal erklären was Z ist. Oben ich habe erklärt wie man ausgehend von den natürlichen Zahlen Z konstruieren kann. Du könntest jetzt natürlich fragen was natürlichen Zahlen sind oder fragen ob sie existieren und dann wir gehen immer weiter zu vlt ZF(C) oder Topoi.   ─   mathejean 11.05.2023 um 18:29

Kommentar schreiben