Hallo, das kommt natürlich auf die gewählte Konstrruktiuon der ganzen Zahlen an. Angenommen die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ existieren (ich meine damit ein Modell, das die Peano-Axiome erfüllt). Allgemeiner sei $M$ ein kommutativer Monoid. Ich werde gleich zeigen, wie man aus $M$ bestmöglich eine abelian Gruppe $G$ macht. Im Fall von $M=\mathbb{N}$ können wir, dann auf $G$ eine Multiplikation erklären und dann nachrechnen, dass diese die Ringaxiome erfüllt. Proposition: sei $M$ kommutativer Monoid, dann existiert Gruppe $G$ und ein Monoidmorphismus $\iota: M \to G$, so dass 
$$\{\text{Gruppenmorphismen }G \to H\} \to \{\text{Monoidmorphismen }M \to H \text{ in eine Gruppe } H \} \\
f \mapsto f \circ \iota$$ eine Bijektion ist.

Falls soetwas existiert, es ist jedenfalls nach Konstruktion "die beste choice".

Beweis: Definieren auf $M^2$ die Äquivalenzrelation  $$
(x,y) \sim (x',y') :\Leftrightarrow \exists t \in M: x+y+t=x' +y' +t
$$
Möglicherweise es ist auch ohne das $t$ eine Äquivalenzrelation, ich bin nur etwas vorsichtig und denke nicht viel nach und habe Beweis von Lokalisierung kopiert.

Setze $G=M^2/\sim$ und definiere Addition komponentenweise (wohldefiniert!) und $\iota(m)=(m+m,m)$. Ende des Beweises.