Funktionsterm bestimmen

Aufrufe: 643     Aktiv: 17.04.2020 um 14:38
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Bedingung: HP(1|2); TP(2|0); durch (0|0) und (3|2) und sie muss eine Funktion 3. Grades sein. Ich weiss nicht, ob die aufgeht.
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Meiner Meinung nach sind das zuviele Informationen. Vermutlich gibt es keine Funktion 3. Grades, die alle diese Bedinungen (die auf 6 Gleichungen für 4 Unbekannte führen) erfüllt.   ─   digamma 17.04.2020 um 13:59
Ich habs schnell gerechnet und kann bestätigen, dass es keine solche Funktion gibt.   ─   sterecht 17.04.2020 um 14:15
Danke für die Antworten:)
Und wenn sie nur durch (0|0) geht (+HP+TP)und nicht durch (3|2), sind es dann immer noch zuviele Unbekannte?   ─   mathefuxs 17.04.2020 um 14:20
Das klappt immer noch nicht. Du hast 5 Informationen (3 Punkte und zwei Werte der Ableitung), aber nur vier Parameter. Die eindeutige Funktion, die durch \((0|0),(1|2),(2|0)\) geht und bei letzterem einen Tiefpunkt hat, ist \(2x(x-2)^2\). Aber deren Hochpunkt ist an der falschen Stelle.   ─   sterecht 17.04.2020 um 14:38
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Die allgemeine Funktion 3. Grades lautet: \( f(x) = ax^3 +bx^2 +cx + d \)

Nun hast du 4 Unbekannte und mehrere Informationen, um damit ein Gleichungssystem aufzustellen.

Aus dem Punkt \( (0\mid 0) \) folgt bsp.:

\( 0 = a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c \cdot 0 + d \Leftrightarrow d = 0 \)

Gleiches könntest du mit den anderen Punkten machen.

Die Ableitung lautet \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)

Da du Informationen bzgl. des Hoch- und Tiefpunktes hast, weißt du, dass an diesen Stellen jeweils die erste Ableitung 0 sein muss. Folglich gilt:

\( 0 = 3a + 2b + c \)

\( 0 = 3a\cdot 2^2 + 2b\cdot 2 + c \)

 

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