Trigonometrie/Goniometrie

Aufrufe: 243     Aktiv: 21.09.2023 um 20:17

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Hi

Kann mir jemand helfen bei dieser Aufgabe?

Vereinfache folgenden Term:

3 ⋅ (cos(22) : sin(22)) ⋅ sin2 (−84) ⋅ tan(22) + cos(−84) ⋅ (sin(84) : tan(84)) ⋅ 3

Ich kenne folgende Rechenregel zu cosinus und sinus:
1) 𝐬𝐢𝐧(𝒂 + 𝟐𝝅) = 𝐬𝐢𝐧(𝒂) und 𝐜𝐨𝐬(𝒂 + 𝟐𝝅) = 𝐜𝐨𝐬(𝒂)
2) 𝐜𝐨𝐬(−𝒂) = 𝐜𝐨𝐬(𝒂) und 𝐬𝐢𝐧(−𝒂) = −𝐬𝐢𝐧(𝒂)
3) 𝐬𝐢𝐧 (𝒂 + 𝝅 𝟐 ) = 𝐜𝐨𝐬(𝒂) und 𝐜𝐨𝐬 (𝒂 − 𝝅 𝟐 ) = 𝐬𝐢𝐧(𝒂)
4) 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒂) + 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒂) = 1

Vielen Dank für deine Hilfe:)
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1 Antwort
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Benutze doch mal $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)$ bei beiden Summanden. Dann sollte es einfacher werden. Kann es sein das es Formatierungsprobleme beim Stellen der Frage gab. Ist zufällig $\sin^2(-84)$ im ersten und $\cos^2(-84)$ im zweiten Summanden gemeint?
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Stimmt das war ein Formatierungsproblem.   ─   cosima2007 20.09.2023 um 16:49

Ich habe leider deinen Lösungsansatz nicht ganz verstanden. Die Lösung ist 3 und ich habe keine Ahnung wie ich darauf kommen soll. Könntest du mir es nochmals erklären?
  ─   cosima2007 20.09.2023 um 16:50

Ersetze alle \(\tan\) gemäß der von maqu genannten Formel. Und denk nicht dran, was rauskommen soll. Man schielt nicht auf das Ende einer Rechnung, sondern nur auf den jeweils nächsten Schritt.   ─   mikn 20.09.2023 um 16:57

Ok. Jetzt habe ich 3 ⋅ tan(22) ⋅ sin2 (−84) ⋅ tan(22) + cos(−84) ⋅ tan(22) ⋅ 3
Was nun? Danke
  ─   cosima2007 20.09.2023 um 17:01

Du solltest alle \(\tan\) ersetzen.   ─   mikn 20.09.2023 um 17:16

Aber ich habe ja keine Summanden mehr?   ─   cosima2007 20.09.2023 um 17:42

Du sollst alle \(\tan\) ersetzen, hast Du das gemacht? Erkennbar daran, dass kein \(\tan\) mehr da steht.   ─   mikn 20.09.2023 um 17:51

Klar hast du noch Summanden, zwei Stück: Produktterm + Produktterm … und da ersetzt du jeweils den Tangens mit Sinus geteilt durch Kosinus, los geht’s, was erhältst du?   ─   maqu 20.09.2023 um 18:48

Aber wie mach ich das mit dem hoch 2?   ─   cosima2007 20.09.2023 um 18:59

Erst Schritt 1, dann Schritt 2. hoch 2 heißt Quadrat, also \(\sin^2(-84)=(\sin (-84))^2\).   ─   mikn 20.09.2023 um 19:51

Ok, hast du es denn mal versucht aufzuschreiben? Der Term ist wahrscheinlich zu anstrengend für dich hier abzutippen. Nächstes mal auf „Frage bearbeiten“ und ein Foto von deiner Rechnung hochladen.
Also nach dem Ersetzen des $\tan$ erhältst du beispielsweise für den ersten Summanden:
\[3\cdot \frac{\cos(22)}{\sin(22)}\cdot \sin^2(-84)\frac{\sin(22)}{\cos(22)}\]
Kann man da nicht erkennen was sich alles vereinfacht?
Du benötigst dann noch analog den zweiten Summanden. Der trigonometrische Pythagoras ist dir bekannt? Da will man hin um den gesamten Term schlussendlich zu vereinfachen.
  ─   maqu 20.09.2023 um 20:56

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