Hilfe bei Äquivalenz von Normen

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Hi!
Ich habe mit der Aufgabe oben leider im Moment so meine Probleme. Hab schon den Tip bekommen, dass ich für die Maximumsnorm eine sinnvolle Abschätzung abgeben kann und dass b) quasi daruaf aufbaut. Leider komme ich da aber so gar nicht voran. Und wie funktioniert dass Skizzieren der Einheitskugeln? Ich könnte da echt etwas Hilfe gebrauchen. 
Vielen Dank schonmal im vorraus!!
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Student, Punkte: 56

 

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Es gilt sicher \(\max_{i=1}^nx_i^2\leq\sum_{i=1}^nx_i^2\leq\sum_{i=1}^n\max_{i=1}^nx_i^2=n\max_{i=1}^nx_i^2\). Wenn du jetzt noch überall die Wurzel ziehst, ist das schon die Äquivalenz von \(|\!|\cdot|\!|_2\) und \(|\!|\cdot|\!|_{\text{max}}\). Ähnlich folgt \(|\!|x|\!|_1\geq|\!|x|\!|_2\) und \(|\!|x|\!|_1\leq n|\!|x|\!|_{\text{max}}\). Leite daraus die Äquivalenz der 1- und 2-Norm her.
Zum Skizzieren: Wie der Ball zur 2-Norm aussieht, weißt du wahrscheinlich schon. Für die anderen Bälle musst du dir am besten überlegen, welche Punkte \((x,y)\) die Norm \(1\) haben, das ist dann der Rand des Balls. Überleg da selber nochmal, das ist nicht schwer.
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