Schranken, Lösung

Aufrufe: 1113     Aktiv: 09.03.2020 um 16:40
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Hallo Leute,

Ich verstehe die folgende Lösung in Aufgabe b nicht. Vor allem die obere Schranke. Was wird da wo eingesetzt?? Wieso \(2(0,1+((0,1)^3)/6))\)?? Kann mir das jemand erklären?

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Student, Punkte: 370

 
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Für die obere Schranke wird zuerst das Additionstheorem verwendet, wie es angegeben ist:

\(\sin(0.2)=\sin(2\cdot0.1)=2\sin(0.1)\cos(0.1).\)

Weil \(\cos(0.1)<1\), ist damit \(\sin(0.2)<2\sin(0.1).\) Danach wird die Abschätzung \(|\sin x| - |x|<|\sin x-x|<\left|\frac{x^3}6\right|\Longrightarrow |\sin x|< |x|+\left|\frac{x^3}6\right|\) verwendet, um \(\sin(0.1)\) abzuschätzen. Da alle Terme positiv sind, kann man die Betragsstriche weglassen.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Wieso ist sin(0,2) < 2sin(0,1)? Wenn ich die 2 reinmultpliziere, komme ich wieder auf sin(0,2)   ─   kamil 09.03.2020 um 12:55
Und wieso wird Sinus von 0,1 abgeschätzt und nicht von 0,2??   ─   kamil 09.03.2020 um 13:10
Es gilt doch \(\sin(0.2)=2\sin (0.1)\cos (0.1)\) (du kannst die 2 nicht einfach reinmultiplizieren) und \(cos (0.1)<1\), d.h. wenn man es weglässt, wird der Termin größer. Daher kommt die Ungleichung \(\sin(0.2)<2\sin(0.1)\). Wenn ich jetzt in dieser Ungleichungskette weiter machen will, brauche ich eine Abschätzung für \(\sin (0.1)\).

Ich gebe zu, die Aufgabe ist ein bisschen komisch, weil sie einen mit (gefühlt) zufälligen Zahlen bewirft, ohne einen Ansatz zu geben, wie man darauf kommen soll.   ─   sterecht 09.03.2020 um 13:30
Aber wieso gilt |sin(0.2)| = 2| sin(0.1) cos(0.1)| , wenn ich die 2 nicht reinmultipliezieren kann? Das ist doch ausgeklammert? Sonst müsste man doch für x=0,2 einsetzen, Also |sin(0.2)| = 2| sin(0.2) cos(0.2)| ???   ─   kamil 09.03.2020 um 13:57
Und sin(0,2)>sin(0,1)? Aber wenn man mit einem Faktor multipliziert, zB. 2*sin(0,1), dann gilt 2*sin(0,1)>sin(0,2), dabei ist egal was als "x" drine in Klammern steht. Kann ich das verstehen oder ist es immer so?   ─   kamil 09.03.2020 um 14:00
Die Gleichung \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) ist das Additionstheorem, das in der Aufgabe angegeben ist. Wenn du hier für \(x\) 0.1 einsetzt, landest du genau bei der Aussage \(\sin(0.2)=2\sin(0.1)\cos(0.1)\)

Dieses Additionstheorem gilt immer, und da der (reelle) Kosinus immer kleiner gleich 1 ist, gilt immer \(\sin(2x)<2\sin(x)\)   ─   sterecht 09.03.2020 um 14:22
Wieso setze ich 0,1 für "x" ein und nicht eine andere Zahl?

Was hat sinus mit Cosinus zu tun? :/   ─   kamil 09.03.2020 um 14:46
Du hast gegeben, dass die Gleichheit \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) immer gilt. Ich kann es dir beweisen, wenn du willst, aber so funktioniert die Gleichung halt.
Man setzt hier \(x=0.1\) ein, damit auf der linken Seite das dasteht, worum die Aufgabe geht, nämlich \(\sin(0.2)\)   ─   sterecht 09.03.2020 um 14:50
Ich verstehe das jetzt^^ beweisen muss ich nichts. Danke   ─   kamil 09.03.2020 um 16:39
Gerne.   ─   sterecht 09.03.2020 um 16:40

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