Beim ersten Schritt wird nur eine Polynomdivision mit Rest ausgeführt. Die zweite Umformung ist nach den Potenzregeln mathematisch erst einmal korrekt. Dass, wenn n (so wie so) gegen oo geht, es auch nichts ausmacht, wenn sich n noch um eins erhöht, also ()^(n+1) auch gegen e geht, dürfte unmittelbar einsichtig sein. der zweite abgespaltete Ausdruck geht dagegen gegen 1, und hat damit keine Wirkung auf das Resultat

Dabei wird lediglich die Summe \(n+2\) in \(n+1+1\) aufgeteilt und der Bruch zerlegt:

\(\dfrac{n+2}{n+1}=\dfrac{n+1+1}{n+1}=\dfrac{n+1}{n+1} +\dfrac{1}{n+1} =1+\dfrac{1}{n+1}\)

Im Anschluss wird die Potenz von \(n\) auf \(n+1\) erhöht, da mit \(\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)\) erweitert wird. Damit man es nicht als Bruch sondern als Produkt schreiben kann, verwendet man das Potenzgesetz \(\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}\). Also:

\(\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^n =\dfrac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n \cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)} =\dfrac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^1} =\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{-1}\)

Hoffe das hilft weiter.