Schreibweise unbestimmtes Integral

Aufrufe: 104     Aktiv: 19.06.2021 um 13:20

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Guten Tag,


derzeit schreibe ich an einer Hausarbeit über die Differenzial- sowie Integralrechnung. Dabei stoße ich bei der Notation des unbestimmten Integrals an einen Knackpunkt. Vielerorts im Internet und im Großteil der gedruckten Literatur, die ich für die Arbeit verwende, benennt die Schreibweise

$$\int f(x) \ \text{d}x = F(x) + C$$

die Menge aller Stammfunktionen von $f$.
Mein Mathematik-Lehrer meinte, als ich ihn auf die obige Notation ansprach, man müsse die Intervallenenden konsequent notieren und solch eine Schreibweise sei für ihn untypisch. Andererseits sehe ich oft Aufgabenformulierungen wie etwa 

Berechnen Sie $$\int 2x \ \text{d}x.$$ 

Lösung: $$\int 2x \ \text{d}x = x^2  + C.$$

Hoffentlich ist mein "Problem" klar geworden. Ich freue mich auf eure Antworten und bedanke mich Voraus!


Beste Grüße
Simon B.

gefragt

Punkte: 17

 

Dein Mathelehrer scheint den Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen ganz offensichtlich nicht zu kennen. Schon bitter.   ─   zest 18.06.2021 um 23:00
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Hallo Simon

Also es gibt zwei verschiedene Integraltypen wie du bemerkt hast. Einerseits das unbestimmte Integral und das Bestimmte. Der Unterschied ist nur, dass beim bestimmten Integral die Integrationsgrenzen gegeben sind. Aber alles der Reihe nach:

Wir betrachten also eine Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) die integrierbar ist. 
Wenn du nun ein Integral der Form \(\int f(x) dx\) hast so spricht man von einem unbestimmten Integral da du ja die Integrationsgrenzen nicht kennst. Wenn du dieses Integral berechnen möchtest erhälst du \(\int f(x) dx=F(x)+C\) wobei \(F(x)\) die Stammfunktion von \(f(x)\) ist und \(C\) die Integrationskonstante. Graphisch gesehen verschiebt diese dein \(F(x)\) in y-Richtung nach oben oder unten wodurch die Fläche grösser oder kleiner wird. Die Integrationskonstante erscheint beim unbestimmten Integral da du ja die Integrationsgrenzen nicht kennst und es daher beliebig viele Stammfunktionen gibt. (du musst aber nichts grosses mit dem \(C\) machen sondern jeweils einfach nur hinten ranhängen wenn du ein unbestimmtes Integral berechnest)

Wenn du nun aber \(\int_a^b f(x)dx\) gegeben hast so sprechen wir vom bestimmten Integral. Da kennst du die Integrationsgrenzen und daher fällt auch die Integrationskonstante \(C\) weg wenn du integrierst. Genauer gesagt erhälst du dann \(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\) wobei \(F(x)\) auch hier die Stammfunktion von \(f(x)\) ist. 

Nun noch kurz zu deinem Beispiel:
Du hast ein unbestimmtes Integral bekommen \(\int 2x\,dx=x^2+C\) aber wenn du nun sagt ich möchte das Integral dieser Funktion über dem Intervall \([0,1]\) berechnen, was natürlich geht, da die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) integrierbar ist dann erhälst du \(\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0 ^1=[x^2]_{x=0}^1=x^2|_0^1=x^2|_{x=0}^1=1\). Hier musst du das nicht so kompliziert machen ich hab dir nur ein paar schreibweisen Aufgezählt die es gibt, also \([x^2]_0 ^1=[x^2]_{x=0}^1=x^2|_0^1=x^2|_{x=0}^1\) heisst alles das gleiche nur einfach verschieden Aufgeschrieben, wähle dir das was dir am liebsten ist und dann genügt es z.b wenn du nur \(\int_0^1 2x\,dx=x^2|_{x=0}^1\) schreibst (meine "Lieblingsnotation" ist eben \(F(x)|_{x=a}^b\) da sie ziemlich übersichtlich ist und du nicht vergisst über welche variabel du integrierst denn es kann ja sein dass deine Funktion vielleicht \(\int_c^d 2ax\,dx\) ist und dann erhälst du \(\int_c^d 2ax\,dx=ax^2|_{x=c}^d\) und so siehst du dass du die c und d nicht für a sondern für x einsetzen musst, aber wie gesagt wähl dir das was du am Besten findest)

Ich hoffe das Hilft.

Grüsse
Karate

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Es stimmt nicht ganz, dass der Unterschied nur die Integralgrenzen sind. Das unbestimmte Integral liefert die Stammfunktion (sofern existent, bis auf eine additive Konstante) während das bestimmte Integral der Berechnung von Volumina dient.   ─   zest 18.06.2021 um 23:55

@anonym ja ich verstehe was du meinst aber ich meine ja was du sagst ist ja nun wirklich nichts anderes als dass die Integrationsgrenzen dazukommen und die additive Konstante wegfällt beim bestimmten Integral mehr nicht, und da die additive Konstante wegfällt ist ja dann das Integral bzw. nun die Fläche definiert . Und ja habe vergessen aufzuschreiben dass man beim unbestimmten Integral die menge aller Stammfunktionen betrachtet sozusagen.

@mikn sorry ja habe den Tippfehler sofort verbessert
  ─   karate 19.06.2021 um 08:02

Naja, ich verstehe was du meinst, aber es ist halt trotzdem nicht dasselbe. Das bestimmte Integral liefert eine reelle Zahl, während das unbestimmte Integral eine (bis auf die additive Konstante) eindeutige Abbildung zurückliefert. Das ist m.E. schon ein Unterschied.

Ich sag nicht, dass deine Antwort per se falsch ist. Aber die Fläche, die von einer Funktion begrenzt wird (d.h. ein Flächeninhalt = reelle Zahl) ist halt etwas anderes als eine Stammfunktion, auch wenn man argumentieren kann, dass die Stammfunktion den Schlüssel zum ermitteln des Flächeninhaltes darstellt.
  ─   zest 19.06.2021 um 10:00

Ja hast recht ich glaube wir haben uns verstanden und ich hoffe für Simon ist es auch klar
  ─   karate 19.06.2021 um 13:20

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