Zeigen, dass eine Menge ein affiner Teilraum ist

Erste Frage Aufrufe: 280     Aktiv: 07.05.2022 um 16:01
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Ich wollte zeigen, dass die Menge {(x,y,z)| 3x-3y+z=2} ein affiner Teilraum von R^{3} ist. 
Ich kenne zwar die Definition des affinen Teilraums, aber kann die nicht anwenden. 
Vielen Dank im Voraus
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1 Antwort
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Die Menge, lass uns sie \(M\) nennen, ist die Lösungsmenge eines LGS. Es gilt daher \(M=y+M_0\) mit \(y \in M\), wobei \(M_0\) Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS (diese ist ein UVR)
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Vielleicht die 2 weglassen. Mit welchem Vektor muss ich es dann verschieben. Ich hab ehrlich gesagt sonst keine Idee.   ─   elenmel 07.05.2022 um 12:11
Ich habe eben meine Antwort editiert (sie ist jetzt passender für diesen Fall). Du brauchst jetzt nur ein \(y\) aus deiner Menge und deine Menge ist dann die homogene Lösung mit \(y\) verschoben. Es ist also $$\{(x,y,z):3x-3y+z=2\}=y+\{(x,y,z):3x-3y+z=0\}$$ mit \(y\) aus deiner Menge. Rechne das ruhig mal nach. Dies ist vielleicht auch eine gute Motivation für affine Unterräume, da man mit ihnen Lösungsmengen von LGS geometrisch beschreiben kann. Die Idee, Lösungsmengen geometrisch in affinen Räumen zu studieren, funktioniert auch so ähnlich für Polynome und erhält so affine algebraische Mengen und mit ein bisschen Arbeit dann affine Varietäten.   ─   mathejean 07.05.2022 um 12:17
Dann ist y=-2 oder? Man kann y nicht beliebig wählen.   ─   elenmel 07.05.2022 um 15:58
Okay, meine Notation ist etwas schlecht. Lass uns statt y einfach v sagen. Du musst ein beliebiges \(v \in M\) suchen, also \(v=(x,y,z)\) mit \(3x-3y+z=2\). Man nennt dieses \(v\) auch spezielle Lösung. Ein LGS ist durch eine spezielle Lösung und die ganze Lösung des homogenen LGS fertig gelöst   ─   mathejean 07.05.2022 um 16:00

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