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Moin, was ist die beste Methode um eine 3x3 oder größere Matrix zu berechnen, wenn Eigenvektor und Eigenwert gegeben sind?

Bei einer 2x2 Matrix würde ich über das lin.Gleichheitssystem (A B C D)*EV =EV*EW gehen und dann 4 Gleichungen bilden und jede Variable nacheinander auflösen.

Bei größeren Matrizen werden, dass aber sehr viele Variablen. Wie mach ich das am besten? Muss ich mich da durch quälen?

                                                                                                  

 

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Student, Punkte: 10

 

Was genau ist gegeben? Wieviele EWe, wieviele EVen? Erst wenn die Aufgabe vollständig formuliert ist, kann man sinnvoll helfen.   ─   mikn 13.01.2024 um 00:12

Ist eher eine allgemeine Methodenfrage. Bei den 2x2 Matrizen sind ja immer 2 Eigenvektoren (X Y) und 2 Eigenwerte gegeben. Was mache ich wenn es auf einmal (X Y Z) 3D Eigenvektoren sind?   ─   steffen 13.01.2024 um 00:29

Letzte Frage ist wieder unklar. Es muss präzise gesagt werden, was gegeben ist. Siehe vorigen Kommentar.   ─   mikn 13.01.2024 um 00:52

Das ist ja das Problem. Ich kann 2x2 Matrizen berechnen wenn 2 2D Eigenvektoren und 2 Eigenwerte gegeben sind. Aber was mache ich wenn aufeinmal alles 3D ist, also EV (X Y Z). Ich hab dazu keine konkrete Aufgabe.   ─   steffen 13.01.2024 um 23:26
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Wenn EIN Eigenvektor \(v\in \mathbb{R}^n\) (als Spaltenvektor) und ein Eigenwert und \(\lambda\in \mathbb{R}\) gegeben ist, dann kann man z.B. die Matrix \(\displaystyle \frac{\lambda}{\|v\|^2} v v^t\) nehmen.

Wenn n linear unabhängige Eigenvektoren \(v_1, \ldots ,v_n \in \mathbb{R}^n\) (als Spaltenvektoren) und die zugehörigen Eigenwerte \(\lambda_1,\ldots\lambda_n \in \mathbb{R}\) gegeben sind, dann kann man die Matrix \(V\,\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \,V^{-1}\) nehmen, wobei \(V=(v_1, \ldots,v_n)\).
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Tut mir leid, die Matrixzeichen verwirren mich grade. Welche Matrizen sind gemeint? vv^t = transformationsmatrix und V diag = Diagonalmatrix von Irgendwas? Vielleicht nochmal mit mehr Worten erklären bitte :)   ─   steffen 13.01.2024 um 23:33

Das hochgestellte "t" bedeutet "transponiert".

Also, wenn z.B. \(v = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)\), dann ist \(v^t = (1,2)\) und \( vv^t = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) (1,2) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot 1 & 1\cdot 2 \\ 2\cdot 1 & 2\cdot 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \)

Wenn z.B. \(\lambda_1=1, \lambda_2=3\), dann ist \(\mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2)\) die Diagonalmatrix \( \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)\).
  ─   m.simon.539 14.01.2024 um 13:07

Das hilft schonmal etwas :) Also nehmen wir mal Eigenvektor v = (1 2) und Eigenwert = 3. Was mache ich dann damit?

Ach ja, und wie mache ich die Formelzeichen hier?^^
  ─   steffen 14.01.2024 um 16:01

Die Matrix lautet dann nach meiner Formel \(\displaystyle A= \frac{3}{\|v\|^2} v v^t\)
Es ist \(\|v\|^2 = 1^2+2^2=5\).
Es ist \(v v^t = \left(\begin{array}{c}1& 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)\).
Also ist \(\displaystyle A = \frac{3}{5} \left(\begin{array}{c}1& 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)
= \left( \begin{array}{c}\frac{3}{5}& \frac{6}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{12}{5}\end{array}\right).
\)

Für die Formelzeichen kannst Du LaTeX verwenden. Sie Link "Wie gebe ich Formeln ein". Ist ein bisschen krypthisch und mühselig, aber die Formel sehen dann super aus.
  ─   m.simon.539 14.01.2024 um 16:31

Super verständlich, danke :) Die selbe Methode funktioniert auch mit dreidimensionalen Eigenvektoren z.B. (1 2 4) ?   ─   steffen 14.01.2024 um 21:02

Könntest du die Methode für n lin. unabhängige Eigenvektoren genauso verständlich demonstrieren?   ─   steffen 14.01.2024 um 21:04

Ja, die Methode funktioniert auch in 3 Dimensionen.

Hier ein Beispiel in 2 Dimensionen mit 2 Eigenwerten und -vektoren:
Wenn ich die Eigenvektoren \(v_1=\left( \begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) \) und \(v_2=\left( \begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right) \) gegeben habe mit Eigenwerten \(\lambda_1=1\) bzw. \(\lambda_2=3\), dann gilt:
\(V = (v_1, v_2) = \left( \begin{array}{cc} 1& 1\\0 & 1\end{array}\right)\).
Mit den Gauß-Algorithmus berechnet man
\(V^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1& -1\\0 & 1\end{array}\right)\).
Dann lautet die gesuchte Matrix
\( A \;=\; V \,\mbox{diag}(1,3) \,V^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1& 1\\0 & 1\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1& 0\\0 & 3\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1& -1\\0 & 1\end{array}\right)\;=\; \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\0 & 3\end{array}\right)\).
  ─   m.simon.539 14.01.2024 um 21:59

Danke. Was genau ist die mittlere Matrix (1 0 0 3)? Eigenwerte einfach in die Diagonalmatrix eingesetzt?   ─   steffen 16.01.2024 um 11:38

Ja, die mittere Matrix ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten..   ─   m.simon.539 17.01.2024 um 00:18

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Du sagst immer "was mach ich, wenn ich .... (irgendwelche unklaren Buchstabenkürzel) habe?", aber es ist unklar, was Du willst.
Jede lin. Abb. (und damit jede Matrix) ist eindeutig durch die Angabe von n (Dimension) lin. unabh. Vektoren und deren zugehörige Bilder definiert. Das können EVen sein, muss aber nicht.
Wenn Du erstmal klar weißt, was Du willst, ist das Ziel schnell erreicht.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.83K

 

Tut mir leid wegen der Kürzel. Ich formuliere es nochmal ganz allgemein: Wie berechne ich eine Matrix aus gegebenen Eigenwerten (EW) und Eigenvektoren (EV). Ich kenne nur eine Methode über ein Lineares Gleichungssystem um eine Matrix aus 2 2D Eigenvektoren und 2 Eigenwerten zu bauen.

Gibt es eine allgemein gültige Methode für eine unbestimmte Zahl an EVs und EWs sowohl im 2 dimensionalen Raum als auch für 3D Eigenvektoren?
  ─   steffen 13.01.2024 um 23:41

Und nochmal: Wenn Du nicht sagst, wieviel EVen Du hast, kommen wir nicht weiter. Um die Abb. eindeutig zu definieren, siehe obige Antwort. Mit n=3 und nur ein oder zwei EVen ist es nicht eindeutig.   ─   mikn 13.01.2024 um 23:51

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