Was sind denn das für innere Ableitungen? Die sollten sein:

für x: 4x^3, für y: 2y, für z: 4z^3

das sollte jeweils im Zähler stehen. Und im Nenner jeweils x^4+y^2+z^4.

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Der Fehler mit der Ableitung wurde ja schon erwähnt. Aber es gibt noch einen weiteren Fehler. Das Differential \(du\) an der Stelle \((x,y,z)\), also \( du(x,y,z) \), ist keine reelle Zahl, sondern eine lineare Funktion. Die partiellen Ableitungen einfach zu addieren, ist daher nicht korrekt.

Es gilt \( du(x,y,z)(h) = \frac{\partial u}{ \partial x}(x,y,z) \cdot h_1+ \frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z) \cdot h_2 + \frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) \cdot h_3 \) oder anders geschrieben \( du(x,y,z)(h) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{ \partial x}(x,y,z) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) \end{pmatrix} \cdot h \).

Wenn du also das Differential \(du\) an der Stelle \((x,y,z)\) berechnen sollst, dann kannst und solltest du die Matrix \( \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{ \partial x}(x,y,z) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) \end{pmatrix} \) angeben.