Welches \(z_{1-\alpha/2}\) soll ich für die Aufgabe 27 b nehmen, weil da wird nach einem 98%-Konfidenzintervall gefragt oder muss ich da irgendwas anderes anwenden ? Ist der Rest richtig bearbeitet ?

Sorry das da ein paar LaTeX-Befehle noch über geblieben sind aber ich schreibe derzeit für mein Studium alles was möglich ist in LaTeX um mich so bestmöglich auf die kommende Bachelorarbeit vorzubereiten.

\(\alpha\)      |   \(z_{1-\alpha}\)    |  \(z_{1-\alpha/2}\)

0.01 | 2.3263 | 2.5758

0.05 | 1.6449 | 1.9600

0.10 | 1.2816 | 1.6449

Aufgabe 27

Lernziel: Ein Konfidenzintervall für einen Anteilswert bestimmen können.\\

In einem großen Kaufhaus werden alle Lieferungen auf ihre Qualität geprüft.

Aufgabenteil a)

In der Lebensmittelabteilung werden südamerikanische Bananen angeliefert. Bei der Qualitätsprüfung finden sich in einer Stichprobe von 400 Bananen 80 schlechte. Berechnen Sie zur Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha=5\%\) ein \((1-\alpha)\)-Konfidenzintervall für den Anteil schlechter Bananen in der Lieferung.\\

95\%-Konfidenzintervall ist gefragt so wie ich die Aufgabe verstehe. \(\mu\) und \(\sigma\) sind nicht gegeben. \\

\(n=400; z_{1-\alpha/2}=1.9600;\)

\[\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\text{ mit }X_i=1\text{ falls A eintritt, }X_i=0\text{ sonst.}=\frac{80}{400}\]

\[KI_{1-\alpha}(p)=\left[\hat{p}-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]=\left[0.2-1.9600\sqrt{\frac{0.2*0.8}{400}},0.2+1.9600\sqrt{\frac{0.2*0.8}{400}}\right]\]

Antwort: \(\left[0.2392, 0.1608\right]\)

Aufgabenteil b)

Die Haushaltswarenabteilung erhält eine Lieferung von Porzellantellern. Es wird eine Stichprobe vom Umfang \(n=55\) entnommen, darin werden 6 Teller 2. Wahl gefunden. Bestimmen Sie ein 98\%-Konfidenzintervall für den Anteil der Teller 2. Wahl in der Lieferung.\\

\(n=55; \hat{p}=\frac{6}{55}\)

\[KI_{1-\alpha}=\left[\hat{p}-z_{1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} ,\hat{p}+z_{1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right] \]

\[=\left[\frac{6}{55}-z_{1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{\frac{6}{55}*(1-\frac{6}{55})}{55}} ,\frac{6}{55}+z_{1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{\frac{6}{55}*(1-\frac{6}{55})}{55}}\right]\]

\[=\left[\frac{6}{55}-z_{1-\alpha/2}*\frac{2*\sqrt{\frac{6}{55}}}{55} ,\frac{6}{55}+z_{1-\alpha/2}*\frac{2*\sqrt{\frac{6}{55}}}{55}\right]\approx\left[0.109-z_{1-\alpha/2}*0.042 ,0.109-z_{1-\alpha/2}*0.042\right]\]

Antwort: cannot find a \(z_{1-\alpha/2}\) for a 98\%-Konfidenzintervall