Vektoren Polynome

Aufrufe: 51     Aktiv: 24.04.2021 um 20:05

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Hallo ich bräuchte nochmals kurze eure Hilfe bzw. einen Denkanstoss für die Aufgaben 2.3 und 2.4.

Könnt ihr mir da vielleicht nochmals helfen?

Ich tue mir gerade ein wenig schwer wie ich das Ganze angehen kann am Besten.

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Für die 2.3: Ein beliebiges Element in \(V\) hat die Form \(aT^2+bT+c\) mit \(a,b,c\in\mathbb R\). Nach Definition eines Erzeugendensystems musst du \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\) finden, sodass $$aT^2+bT+c=\alpha p_1+\beta p_2+\gamma p_3$$ Wenn du die linke Seite ausrechnest und nach gleichen \(T\)-Potenzen sortierst, erhälst du durch Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem, dass du nach \(\alpha,\beta,\gamma\) auflösen kannst. Wenn du für jeden Wert von \(a,b,c\) eine Lösung für \(\alpha,\beta,\gamma\) erhälst, hast du gezeigt, dass \(p_1,p_2,p_3\) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist.

Die 2.4. ist eigentlich noch einfacher. Nach Definition des Erzeugnisses gilt die Aussage genau dann, wenn es \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\) gibt, sodass $$\begin{pmatrix}1\\-5\\2\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\-5\\7\end{pmatrix}$$ Liest du nun jede Zeile einzeln, erhälst du erneut ein Gleichungssystem, dass du nach \(\alpha,\beta,\gamma\) auflösen kannst. Gibt es eine Lösung, liegt der Vektor im Erzeugnis, gibt es keine, dann liegt der Vektor nicht im Erzeugnis.
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Danke vielmals leider glaub ich dass ich es immer noch nicht ganz verstanden habe. bei Punkt 2.3 rechne ich das über den gaußal. aus?
⎛⎜⎝211⎞⎟⎠⎛⎜⎝410⎞⎟⎠⎛⎜⎝221⎞⎟ oder bin ich da ganz falsch?

Bei Punkt 2.4 löse ich einfach die Gleichungen 1= α + 2β + γ und da löse ich zeile für zeile α,β,γ und dann setz ich diese ein? oder bin ich da auch am total falsch?
  ─   joerg 23.04.2021 um 21:52

Bei 2.3. kommst du, wenn du die rechte Seite meiner Gleichung ausrechnest, auf \((2\alpha+4\beta-2\gamma)T^2+(\alpha+\beta+2\gamma)T+(\alpha+\gamma)\) und Koeffizientenvergleich gibt dir die drei Gleichungen \begin{align*}a&=2\alpha+4\beta-2\gamma\\b&=\alpha+\beta+2\gamma\\c&=\alpha+\gamma\end{align*} bzw. in Matrixschreibweise $$\begin{pmatrix}2&4&-2\\1&1&2\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$ Dieses Gleichungssystem musst du jetzt lösen, z.B. mit dem Gauß-Algorithmus, ja. (Dabei sind \(\alpha,\beta,\gamma\) die Variablen und \(a,b,c\) die Parameter.) Du solltest zu dem Ergebnis kommen, dass es für jede Wahl von \(a,b,c\) eine Lösung gibt, was dann deine Behauptung zeigt.

Bei der 2.4. löst du das Gleichungssystem auch am besten einfach mit dem Gauß-Algorithmus.
  ─   stal 24.04.2021 um 12:16

Danke vielemals für die perfekte Hilfe. Jetzt hab ich es wenig kappiert vielen Dank. Perfekte Infos.   ─   joerg 24.04.2021 um 20:05

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