Für die 2.3: Ein beliebiges Element in \(V\) hat die Form \(aT^2+bT+c\) mit \(a,b,c\in\mathbb R\). Nach Definition eines Erzeugendensystems musst du \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\) finden, sodass $$aT^2+bT+c=\alpha p_1+\beta p_2+\gamma p_3$$ Wenn du die linke Seite ausrechnest und nach gleichen \(T\)-Potenzen sortierst, erhälst du durch Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem, dass du nach \(\alpha,\beta,\gamma\) auflösen kannst. Wenn du für jeden Wert von \(a,b,c\) eine Lösung für \(\alpha,\beta,\gamma\) erhälst, hast du gezeigt, dass \(p_1,p_2,p_3\) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist.

Die 2.4. ist eigentlich noch einfacher. Nach Definition des Erzeugnisses gilt die Aussage genau dann, wenn es \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\) gibt, sodass $$\begin{pmatrix}1\\-5\\2\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\-5\\7\end{pmatrix}$$ Liest du nun jede Zeile einzeln, erhälst du erneut ein Gleichungssystem, dass du nach \(\alpha,\beta,\gamma\) auflösen kannst. Gibt es eine Lösung, liegt der Vektor im Erzeugnis, gibt es keine, dann liegt der Vektor nicht im Erzeugnis.