Wie stelle ich aus Nullstellen eine Funktion auf?

Aufrufe: 43     Aktiv: 26.04.2021 um 12:09

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Hallo Leute, 

hat wer eine Anleitung wie man aus Nullstellen, egal wie viele, eine Funktion aufstellt. 

Vielen Dank!
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Wenn du Nullstellen \(x_1,\ldots,x_n\) gegeben hast, dann ist $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$$ eine Polynomfunktion, die genau die gegebenen Nullstellen hat. Dabei hat \(f\) minimalen Grad, und den Parameter \(a\neq0\) kann man noch beliebig wählen; er streckt oder staucht nur die Funktion.
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Wenn es nur ein Polynom sein soll, dann geht das für die Nullstellen x0,x1,...,xn ganz simpel mit dem Ansatz 

f(x)= a(x-x0)(x-x1)...(x-xn), wobei a eine beliebige reele Zahl sein kann.

a= 0 liefert logischer Weise die triviale Lösung xD

Das ist natürlich nicht die Weisheit letzter Schluss, denn man könnte natürlich auch andere Funktionen als Polynome benutzen und z.b. mit sinusen und cosinusen entsprechend Funktionen konstruieren, aber ich denke das ginge in diesem Rahmen zu weit.
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Naja, so allgemein ist das schwer möglich. Bei Parabeln bzw. Polynomfunktionen ist das bspw. möglich. Aus den Nullstellen kannst du dabei direkt die Gleichung in faktorisierter Form angeben. Hast du beispielsweise die Nullstellen -3 und 4, dann wäre die Funktionsgleichung dazu \((x+3)*(x-4)\) 
Dabei kegren sich die vorzeichen in der Klammer jeweils um (Gegenteiltag:))
Davor kann noch ein Faktor a stehen, den du beliebig wälen kannst. Er streckt bzw. staucht die Funktion
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