Solange die rechten Seiten genügend glatt sind, gibt es immer Lösungen. Eine andere Frage ist, ob man diese Lösungen so einfach ausrechnen bzw. darstellen kann. In Fällen wie diesem hier helfen trigonometrische Gleichungen:
$\sin^2x = \frac12 (1\cos (2x))$
Damit kann man die rechte Seite als Summe zweier Ausdrücke schreiben, für die einzeln gesehen die bekannten Ansätze für partikuläre Lösungen funktionieren. Also bestimmt zu jedem Teil getrennt eine partikuläre Lösung, und die Summe dieser beiden partikulären Lösungen ist dann ein partikuläre Lösung für die gesamte Dgl, also die mit rechter Seite $\sin^2x$.