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$$\text{Es seien } X \sim \text{Ber}(p_1), Y \sim \text{Ber}(p_2) \text{ mit } p_1, p_2 \in (0,1).\text{ Zeigen Sie: Sind } X,Y \text{ unkorreliert, so sind sie auch unabhängig.}$$

Ich weiß, dass dies im Allgemeinen natürlich nicht gelten muss. Trotz rumprobieren, konnte ich nicht zu einem Ergebnis kommen. Ich wäre für Hilfe dankbar :)
$$\ X \text{ und } Y \text{ heißen unkorreliert, wenn } \text{Cov}(X,Y) = 0 \text{ und unabhängig, wenn gilt} P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y).$$
 
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Die Definition der stochastischen Unabhängigkeit ist so nicht richtig. Sie lautet hier: Für zwei beliebige Mengen \(A,B \subseteq \{0,1\} \) gilt

    \(P(X\in A, Y \in B)\; =\; P(X\in A) \cdot P(Y \in B)\)    (1)

Wenn man nun die Kovarianz nach der Formel \(\mbox{Cov(X,Y)} = E((X-E(X) \cdot (Y-E(Y))\) ausrechnet, so erhält man \(\mbox{Cov}(X,Y) = E(XY)-p_1 p_2\).
Da die Kovarianz 0 ist, folgt \(E(XY)=p_1 p_2\)  und daraus \(P(X=1, Y=1) = P(X=1) \cdot P(Y=1)\).
Daraus kann man herleiten, dass \(P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)\) für alle \(x,y\in\{0,1\}\).


Hieraus folgt (1) für alle \(A,B \subseteq \{0,1\} \).
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