Die Definition der stochastischen Unabhängigkeit ist so nicht richtig. Sie lautet hier: Für zwei beliebige Mengen \(A,B \subseteq \{0,1\} \) gilt

    \(P(X\in A, Y \in B)\; =\; P(X\in A) \cdot P(Y \in B)\)    (1)

Wenn man nun die Kovarianz nach der Formel \(\mbox{Cov(X,Y)} = E((X-E(X) \cdot (Y-E(Y))\) ausrechnet, so erhält man \(\mbox{Cov}(X,Y) = E(XY)-p_1 p_2\).
Da die Kovarianz 0 ist, folgt \(E(XY)=p_1 p_2\)  und daraus \(P(X=1, Y=1) = P(X=1) \cdot P(Y=1)\).
Daraus kann man herleiten, dass \(P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)\) für alle \(x,y\in\{0,1\}\).


Hieraus folgt (1) für alle \(A,B \subseteq \{0,1\} \).