Eine Skizze ist hilfreich, um sich über die ungefähre Lage und Existenz von Nullstellen klar zu werden, ersetzt aber nicht die Rechnung. Dafür ist es natürlich hilfreich, wenn man weiß, wie \(\cot x\) aussieht. Dafür ist aber auch Geogebra ausreichend. Nun zur tatsächlichen Rechnung:

Deine Umformungen mit trigonometrischen Identitäten ist gut, du kommst damit ja auf $$3\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=8\sin(x)\cos(x).$$ Ist nun \(\cos(x)=0\), dann gilt die obige Gleichung und wir bekommen zwei Nullstellen im angegebenen Intervall, die kannst du bestimmt selbst finden. Sei also ab jetzt \(\cos(x)\neq 0\). Dann können wir dadurch teilen und noch mit \(\sin(x)\) multiplizieren,  um auf $$\frac38=\sin^2(x)$$ zu kommen. Dadurch bekommst du die zwei Lösungen, die du oben genannt hast. Allerdings gibt es im angegebenen Intervall jeweils zwei \(x\)-Werte mit \(\sin(x)=\pm\sqrt{\frac38}\). Hier schadet eine Skizze vielleicht wirklich nicht: Zeichne einen Sinus und die Geraden \(y=\sqrt{\frac38}\) sowie \(y=-\sqrt{\frac38}\). Du siehst, dass beide Geraden den Sinus im relevanten Intervall zweimal schneiden. Wie kannst du den jeweils anderen Schnittpunkt aus \(\arcsin(\pm\sqrt{\frac38})\) berechnen? (Verwende Symmetrieeigenschaften des Sinus wie \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\) für alle \(x\in\mathbb R\)).

Ich hoffe, das hilft dir weiter. Ansonsten frag gern nochmal nach.