Achsensymmetrie liegt vor, wenn gilt \(f-x) = f(x) \) z.B. bei \(f(x) =x^2\).
Punktsymmetrie liegt vor , wenn gilt \(f(-x) = -f(x)\) z.B. bei \(f(x) = x^3\)

Ganz einfach gesagt: Wenn du eine Funktion hast, wo NUR gerade Zahlen im Exponenten von x stehen, liegt achsensymmetrie vor. Zum Beispiel hier: \( f_1(x) = 4x^4 + 2x^2 + 1 \)

Punktsymmetrie liegt genau dann vor, wenn NUR ungerade Zahlen als Exponent von x vorkommen, zB: \( f_2(x) = 3x^5 + x^3 +8x \)

Funktionen die beide Bedingungen erfüllen, sind weder achsen- noch punktsymmetrisch.. Zum Beispiel hier: \( f_3(x) = 9x^4 + 3x^3+x^2+7\)

Allgemein prüft man das so: Bei Achsensymmetrie schaut man ob diese Gleichheit gilt: \(f(x) = f(-x) \)

(Beispiel an Funktion \(f_1\): Es gilt für  \( f_1(x)= 4x^4  +2x^2+1 =\)

Für die andere Bedingung gilt: \(f_1(-x) = 4(-x)^4+2(-x)^2 +1 = 4x^4+2x^2+1\). Jetzt sieht man, dass hier die Gleichheit gilt.

Bei Punktsymmetrie muss \( f(-x) = -f(x) \) gelten.

(Beispiel an Funktion \(f_2\): Es gilt \( f_2(-x) = 3(-x)^5 + (-x)^3+8(-x) = -3x^5-x^3-8x \)

Für die andere Bedingung gilt \( -f_2(x) = -(3x^5+x^3+8x) = -3x^5-x^3-8x\)

Auch hier sieht man, dass dies erfüllt ist. Jetzt prüf doch selber mal die beiden Symmetriebedingungen an der Funktion \(f_3(x)\). Hier solltest du feststellen, dass in beiden Fällen keine Gleichheit gilt :-)