Spline Interpolation

Aufrufe: 808     Aktiv: 25.11.2020 um 14:08

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Kann mir einer die Obere Menge erklären. Also sind da alle Polynome die m fach differenzierbar sind mit höchstem Grad k drin oder sind da auch die abgeleiteten Polynome drin? Und wie kommt man dann unten auf die Dimension? Ist das überhaupt ein Vektorraum?

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Student, Punkte: 254

 
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Es ist wichtig, dass man solche Schreibweisen genau lesen kann. Und zwar von links nach rechts:

... = die Menge aller m mal stetig diffbaren Funktionen auf [a,b], die eingeschränkt auf jedes der Intervalle I_j ein Polynom vom Grad max. k sind

Die v's sind also stückweise Polynome, die aneinander gefügt v ergeben. Eben ein Spline ;-)

So wie Polynome einen Vektorraum bilden, tun das auch aneinander gefügte Polynome. Die Dim ist, wie in der Lin.Alg., die Anzahl der freien Parameter dieser Menge. Hier haben wir Polynome vom Grad max. k (das sind k+1 freie Parameter), und davon n Stück (für jedes Intervall), macht schonmal n(k+1).

Jetzt gelten aber zusätzlich die Übergangsbedingungen, die besagen, dass angrenzende Polynome gleiche Funktionswerte und gleiche Ableitungen bis zur Ordnung m haben (damit das Gesamtergebnis in C^m liegt, d.h. keine Knicke hat usw.). Das sind (n-1)(m+1) Bedingungen (Gleichungen). Wie von LGS bekannt, reduziert sich die Anzahl der freien Parameter pro Gleichung um 1. 

Damit: n(k+1)-(n-1)(m+1) freie Parameter (= Dim).

Soviel Wünsche hat man also noch frei um den Spline eindeutig festzulegen. Das macht man mit Randbedingungen.

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Aber wir suchen doch nur ein v warum dann eine Menge?   ─   finn2000 25.11.2020 um 12:51

wir hätten doch schlussendlich nur ein polynom(zusammengefügt aus den anderen) und dieses kann doch für sich keinen Vektorraum aufspannen oder was versteh ich gerade falsch?   ─   finn2000 25.11.2020 um 12:54

ok danke   ─   finn2000 25.11.2020 um 13:24

nochmal kurz: S besteht also aus allen Splines v die m mal stetig diffbar sind und die zusammengestzt aus Polynomen auf [a,b] mit höchstem Grad k sind.   ─   finn2000 25.11.2020 um 13:39

danke habe es jetzt verstanden :)   ─   finn2000 25.11.2020 um 14:08

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