Es gibt viele Möglichkeiten, das zu zeigen. Du kannst zum Beispiel leicht überprüfen, dass \(\mathbb R^2\setminus\{0\}\) wegzusammenhängend ist. Damit bist du fertig, denn wegzusammenhängende Räume sind auch zusammenhängend. 
Du kannst zeigen, dass es keine nichttrivialen Teilmengen gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Dazu zeigst du am besten, dass es zu einer offenen Menge \(O\) und einem Punkt \(x\notin O\) einen Punkt \(y\in\partial O\) gibt mit \(d(x,y)=d(x,A)\), was unmittelbar aus der Definition des Abstands folgt.
Du kannst auch direkt nachweisen, dass sich \(\mathbb R^2\setminus\{0\}\) nicht in zwei echte abgeschlossene disjunkte Teilmengen zerlegen lässt, indem du zeigst, dass abgeschlossene, disjunkte Mengen positiven Abstand haben.
Oder du kannst zeigen, dass es keine stetige surjektive Funktion \(f:\mathbb R^2\setminus\{0\}\to\{0,1\}\) gibt (Hinweis: finde \(a\in f^{-1}(0),b\in f^{-1}(1)\), sodass die Strecke, die \(a\) und \(b\) verbindet, ganz in \(\mathbb R^2\setminus\{0\}\) liegt, und betrachte \(c:=f(\sup\{t\in(0,1)\ |\ f((1-t)a+tb)=0\})\))

Das sind vier - alles sehr einfache - Beweise, die mir auf die Schnelle einfallen, du kannst dir einen davon aussuchen.