Hallo,

die Lösung von Silvapuer funktioniert so leider nicht. Es gilt vorweg

$$ \lim\limits_{n \to \infty}  \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \to e $$

Häufungspunkte sind die Grenzwerte von Teilfolgen. Betrachten wir dafür beispielsweise die Folge

$$ a_n = (-1)^n$$

diese nimmt immer abwechselnd die Zahlen \( 1 \) und \( -1 \) an. 

Wir können somit zwei Teilfolgen konstruieren

$$ a_{2n} = (-1)^{2n} = 1^n = 1 $$

und

$$ a_{2n-1} = (-1)^{2n-1} = -1 \cdot (-1)^{2n} = -1 $$

Diese beiden Folgen sind konstant, also insbesondere konvergent. Damit hat die Folge \(a_n\) die Häfungspunkte \(1\) und \( -1\). 

Außerdem ist es noch wichtig zu wissen, dass wenn eine Folge konvergiert, der einzige Häufungspunkt der Grenzwert der Folge ist. 

Die Folge aus i) hat den Grenzwert \(e\) (die eulersche Zahl) und hat somit auch nur einen Häufungspunkt, nämlich \(e\). 

Zur (ii) diese Folge divergiert. Ist dir klar woran man das sieht? Aus dem gleichen Argument kann man auch folgern, das jede Teilfolge divergiert. Was bedeutet das dann für die Häufungspunkte?

Zur (iii) Rechne am Besten mal die ersten 5 Folgeglieder aus. Erinnere die dabei an die Häufungspunkte von \( a_n = (-1)^n \). 

Zur (iv) Auch hier würde ich dir empfehlen mal die ersten Folgeglieder auszurechnen. Was fällt dir auf?

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal über deine Lösung drüber.

Grüße Christian

Also ich hab das nicht studiert oder so, aber Häufungswerte bestimme ich, indem ich mir ein kleines Programm schreibe, das die Zahlen von 1 bis n (z.b. n=10000) da einzetzt und die Ergebnisse ausgibt. Dann betrachte ich die Ergebnisse und forme gegebenen falls noch um (z.b. 2.236067978 zu Sqrt(5)) 

Ist jetzt nicht die eleganteste Lösung aber funktioniert. 

Für Limes machst du mit i) folgendes:

lim[n->oo] (1+(1/n))^n = (1+0)^oo = 1