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Die eine Richtung ist einfach: Gilt $\|v\|=\sqrt{B(v,v)}$ für eine positiv definite symmetrische Bilinearform, dann zeigt eine einfache Rechnung, dass die Parallelogrammgleichung erfüllt ist.
Die andere Richtung ist schwerer. Hier muss man sozusagen die richtige Bilinearform "raten". Setze $$B(v,w):=\frac14\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)$$ und rechne nach, dass $B$ tatsächlich eine positiv definite symmetrische Bilinearform ist, die $\|\cdot\|$ erzeugt.
Die andere Richtung ist schwerer. Hier muss man sozusagen die richtige Bilinearform "raten". Setze $$B(v,w):=\frac14\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)$$ und rechne nach, dass $B$ tatsächlich eine positiv definite symmetrische Bilinearform ist, die $\|\cdot\|$ erzeugt.
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stal
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